Question

如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直, AA1=AB=AC=1,AB⊥AC, M是CC1的中点, N是BC的中点,点P在线段A1B1上,且满足A1P=lA1B1.
(1)证明：PN⊥AM.
(2)当λ取何值时,直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角最大值的正切值．
(3)是否存在点P,使得平面 PMN与平面ABC所成的二面角为45°.若存在求出l的值,若不存在,说明理由．

Answer 1

（1）见解析；（2）(tan θ)max＝2；（3）不存在.解析:
第一问中利用以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系
设为平面的法向量，又正方体的棱长为1，
借助于，得到结论
第二问中，平面ABC的一个法向量为n＝(0,0,1),
则sin θ＝＝ (*)
而θ∈[0,],当θ最大时,sin θ最大,tan θ最大(θ＝除外),
由(*)式,当λ＝时,(sin θ)max＝,(tan θ)max＝2  
第三问中，平面ABC的一个法向量为n (0,0,1).设平面PMN的一个法向量为m=(x,y,z),
由(1)得＝(λ,－1,)．
由求出法向量，然后结合二面角得到解得λ＝－.
(1)证明　如图,以AB,AC,AA1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A－xyz.则P(λ,0,1),N(,,0),
从而＝(－λ, ,－1),＝(0,1, )．
\＝(－λ)×0＋×1－1×＝0,

∴PN⊥AM.                                             -------------4分
(2)解　平面ABC的一个法向量为n＝(0,0,1),
则sin θ＝＝ (*)
而θ∈[0,],当θ最大时,sin θ最大,tan θ最大(θ＝除外),
由(*)式,当λ＝时,(sin θ)max＝,(tan θ)max＝2        -----------6分
(3)平面ABC的一个法向量为n (0,0,1).设平面PMN的一个法向量为m=(x,y,z),
由(1)得＝(λ,－1,)．
由
令x＝3,得m＝(3,2λ＋1,2(1－λ))．
∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°,
∴|cos〈m,n〉|＝＝＝,解得λ＝－.
故在线段A1B1上不存在点P                                         --------------6分