Question

如图，△ABC中，∠C=30°，以AB为直径的圆O经过BC边上的点D，且∠AOD=120°．
（1）求证：AC是圆O的切线；
（2）若CD=6，点E是半圆上一点，且sin∠BAE=

1

4

，求线段AE的长．

Answer 1

分析：（1）要证明AC是圆O的切线，只要证明∠CAB=90°即可；
（2）根据已知及三角函数求出AB的长，再根据勾股定理求得AE的长．

解答：（1）∵∠DOA=2∠DBO=120°，
∴∠DBO=60°，
∵∠C=30°，
∴∠CAB=90°，
∴AC是圆O的切线；

（2）∵∠C=30°，
∴2AB=BC=4OB；
∵∠DBO=60°，OD=OB，
∴△ODB为等边三角形，
∴DB=OB，
∴CD=3OB=6，
∴OB=2，AB=4；
∵AB中直径
∴∠E=90°
∵sin∠BAE=

1

4

，AB=4，
∴BE=1，
∴AE=

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．

点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．