Question

【题目】如图，将抛物线平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点，新抛物线与轴正半轴交于点，联结，，设新抛物线与轴的另一交点是，新抛物线的顶点是.

（1）求点的坐标；

（2）设点在新抛物线上，联结，如果平分，求点的坐标；

（3）在（2）的条件下，将抛物线沿轴左右平移，点的对应点为，当和相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）设点D坐标（a，b），可得新抛物线解析式为：y=-（x-a）2+b，先求出点C，点B坐标，代入解析式可求解；

（2）通过证明△AOC∽△CHD，可得∠ACO=∠DCH，可证EC∥AO，可得点E纵坐标为4，即可求点E坐标；

（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求点F坐标，即可求平移后得到抛物线的表达式．

（1）∵抛物线y=-x2+4的顶点为C，

∴点C（0，4）

∴OC=4，

∵tanB=4=，

∴OB=1，

∴点B（1，0）

设点D坐标（a，b）

∴新抛物线解析式为：y=-（x-a）2+b，且过点C（0，4），点B（1，0）

∴

解得：

∴点D坐标（-1，）

（2）如图1，过点D作DH⊥OC，

∵点D坐标（-1，）

∴新抛物线解析式为：y=-（x+1）2+，

当y=0时，0=-（x+1）2+，

∴x1=-3，x2=1，

∴点A（-3，0），

∴AO=3，

∴，

∵点D坐标（-1，）

∴DH=1，HO=，

∴CH=OH-OC=，

∴，

∴，且∠AOC=∠DHC=90°，

∴△AOC∽△CHD，

∴∠ACO=∠DCH，

∵CE平分∠ACD，

∴∠ACE=∠DCE，

∴∠ACO+∠ACE=∠DCH+∠DCE，且∠ACO+∠ACE+∠DCH+∠DCE=180°

∴∠ECO=∠ECH=90°=∠AOB，

∴EC∥AO，

∴点E纵坐标为4，

∴4=-（x+1）2+，

∴x1=-2，x2=0，

∴点E（-2，4），

（3）如图2，

∵点E（-2，4），点C（0，4），点A（-3，0），点B（1，0），点D坐标（-1，）

∴DE=DC=，，AB=3+1=4，

∴∠DEC=∠DCE，

∵EC∥AB，

∴∠ECA=∠CAB，

∴∠DEC=∠CAB，

∵△DEF和△ABC相似

∴或，

∴或

∴EF=或

∴点F（-，4）或（，4）

设平移后解析式为：y=-（x+1-c）2+4，

∴4=-（-+1-c）2+4或4=-（+1-c）2+4，

∴c1=，c2=

∴平移后解析式为：y=-（x+）2+4或y=-（x-）2+4，