Question

如图，AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，垂足分别为B、C，E为线段AB上一点，
（1）用尺规在射线AN上找一点F，使△CDF与△BDE全等（保留作图痕迹）；
（2）若BE=3，请写出此时线段AE与AF的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）以D为圆心，DE为半径交AN于F₁或F₂，根据角平分线定理得到DB=DC，再根据“HL”可证明Rt△CDF≌Rt△BDE；
（2）先根据“HL”可证明Rt△DBA≌Rt△DCA得到AB=AC，然后讨论：当F点在F₁时，AF=AE；当F点在F₂时，AF₂=AC+CF₂=AB+CF₂=AE+BE+BE，AF-AE=2BE=6．

解答：解：（1）以D为圆心，DE为半径交AN于F₁或F₂，如图，
∵AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，
∴DB=DC，
∵DE=DF，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）；

（2）∵DB=DC，DA=DA，
∴Rt△DBA≌Rt△DCA（HL）；
∴AB=AC，
∵Rt△CDF≌Rt△BDE，
∴BE=CF，
∴当F点在F₁时，AF=AE；
当F点在F₂时，AF₂=AC+CF₂=AB+CF₂=AE+BE+BE，
∴AF-AE=2BE=6．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了角平分线定理．