练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图1，已知四边形ABCD是菱形，G是线段CD上的任意一点时，连接BG交AC于F，过F作FH∥CD交BC于H，可以证明结论
    FH
    AB
    =
    FG
    BG
    成立．（考生不必证明）
    （1）探究：如图2，上述条件中，若G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
    （2）计算：若菱形ABCD中AB=6，∠ADC=60°，G在直线CD上，且CG=16，连接BG交AC所在的直线于F，过F作FH∥CD交BC所在的直线于H，求BG与FG的长．
    （3）发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论
    FH
    AB
    =
    FG
    BG
    还成立吗？
    精英家教网
    分析：（1）借助中间比进行证明，根据平行线分线段成比例定理分别证明两个比都等于
    CH
    BC
    即可；
    （2）首先应画出两个不同的图形进行分析．构造30°的直角三角形，然后计算两条直角边的长，在两种情况中，GQ=16+3=19或16-3=13，然后根据勾股定理计算BG的长，进一步根据比例式求得FG的长；
    （3）成立，根据（2）中的过程，可以分别求得左右两个比，从而证明结论．
    解答：精英家教网解：（1）结论
    FH
    AB
    =
    FG
    BG
    成立
    证明：由已知易得FH∥AB，
    ∴
    FH
    AB
    =
    HC
    BC
    ，
    ∵FH∥GC，
    HC
    BC
    =
    FG
    BG

    ∴
    FH
    AB
    =
    FG
    BG
    ．

    （2）∵G在直线CD上，
    ∴分两种情况讨论如下：
    ①G在CD的延长线上时，DG=10，
    如图1，过B作BQ⊥CD于Q，
    由于四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，
    ∴BC=AB=6，∠BCQ=60°，
    ∴BQ=3
    		3
    ，CQ=3，
    ∴BG=
    		192+(3
    		3
    )    2
    =2
    		97
    ．
    又由FH∥GC，可得
    FH
    GC
    =
    BH
    BC
    ，
    而△CFH是等边三角形，
    ∴BH=BC-HC=BC-FH=6-FH，
    ∴
    FH
    16
    =
    6-FH
    6
    ，
    ∴FH=
    48
    11
    ，
    由（1）知
    FH
    AB
    =
    FG
    BG
    ，
    ∴FG=
    FH•BG
    AB
    =
    48
    11
    •
    1
    6
    •2
    		97
    =
    16
    11
    		97
    ．
    ②G在DC的延长线上时，CG=16，
    如图2，过B作BQ⊥CG于Q，
    ∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，
    ∴BC=AB=6，∠BCQ=60°．
    ∴BQ=3
    		3
    ，CQ=3．
    ∴BG=
    		132+(3
    		3
    )    2
    =14．
    又由FH∥CG，可得
    FH
    GC
    =
    BH
    BC
    ，精英家教网
    ∴
    FH
    16
    =
    BH
    6
    ．
    ∵BH=HC-BC=FH-BC=FH-6，
    ∴FH=
    48
    5
    ．
    ∵FH∥CG，
    ∴
    BF
    BG
    =
    FH
    CG
    ．
    ∴BF=14×
    48
    5
    ÷16=
    42
    5
    ．
    ∴FG=14+
    42
    5
    =
    112
    5
    ．

    （3）G在DC的延长线上时，
    FH
    AB
    =
    48
    5
    ÷6=
    8
    5
    ，
    FG
    BG
    =
    112
    5
    ÷14=
    8
    5
    ，
    ∴
    FH
    AB
    =
    FG
    BG
    成立．
    结合上述过程，发现G在直线CD上时，结论
    FH
    AB
    =
    FG
    BG
    还成立．
    点评：证明比例式的时候，可以利用相似或利用平行线分线段成比例定理进行证明．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读与理解：
    三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，
    即如图1，AD是△ABC中BC边上的中线，
    则S△ABD=S△ACD=
    1
    2
    S△ABC    ．
    理由：∵BD=CD，∴S△ABD=
    1
    2
    BD×AH=
    1
    2
    CD×AH=S△ACD    =
    1
    2
    S△ABC    ，
    即：等底同高的三角形面积相等．
    操作与探索
    在如图2至图4中，△ABC的面积为a．
    （1）如图2，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=
     
    （用含a的代数式表示）；
    （2）如图3，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=
     
    （用含a的代数式表示），并写出理由；
    （3）在图3的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图4）．若阴影部分的面积为S3，则S3=
     
    （用含a的代数式表示）．
    精英家教网
    拓展与应用
    如图5，已知四边形ABCD的面积是a，E、F、G、H分别是AB、BC、CD的中点，求图中阴影部分的面积？精英家教网

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    在直角坐标系xoy中，将面积为3的直角三角形AGO沿直线y=x翻折，得到三角形CHO，连接AC，已知反比例函数y=
    kx
    (x＞0)    的图象过A、C两点，如图①．
    （1）k的值是
     
    ；
    （2）在直线y=x图象上任取一点D，作AB⊥AD，AC⊥CB，线段OD交AC于点F，交AB于点E，P为直线OD上一动点，连接PB、PC、CE．
    ㈠如图②，已知点A的横坐标为1，当四边形AECD为正方形时，求三角形PBC的面积；
    ㈡如图③，若已知四边形PEBC为菱形，求证四边形PBCD是平行四边形；
    ㈢若D、P两点均在直线y=x上运动，当∠ADC=60°，且三角形PBC的周长最小时，请直接写出三角形PBC与四边形ABCD的面积之比．
    精英家教网

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•太原一模）如图1，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点E，以点E为顶点作正方形EFGH，使点A、D分别在EH和EF上，连接BH、AF．
    （1）判断并说明BH和AF的数量关系；
    （2）将正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转θ（0°≤θ≤360°），设AB=a，EH=b，且a＜2b．
    ①如图2，连接AG，设AG=x，请直接写出x的取值范围；当x取最大值时，直接写出θ的值；
    ②如果四边形ABDH是平行四边形，请在备用图中补全图形，并求a与b的数量关系．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线：l、m、n、p为对称轴的轴对称的图形．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案