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(2012•南湖区二模)已知直线y=-x+4分别交x轴、y轴于点A、C,过A、C两点的抛物线y=ax2-2ax+c交x轴于另一点B.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若动点Q从点B出发,以每秒2个单位长度沿线段BA方向运动,同时动直线l从x轴出发,以每秒1个单位长度沿y轴方向平行移动,直线l交AC与D,交BC于E,当点Q运动到点A时,两者都停止运动.设运动时间为t秒,△QED的面积为S.
①求S与t的函数关系式:并探究:当t为何值时,S有最大值为多少?
②在点Q及直线l的运动过程中,是否存在△QED为直角三角形?若存在,请求t的值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)根据直线解析式求出点A、C,然后利用待定系数法求二次函数解析式解答即可;
(2)①令y=0,解关于x的一元二次方程求出点B的坐标,再求出AB的长,然后根据相似三角形对应高的比等于相似比求出DE,再根据三角形的面积公式列式整理即可得解,最后根据二次函数的最值问题解答;
②分(i)∠QED=90°时,根据△BQE和△BOC相似,利用相似三角形对应边成比例列式求解;(ii)∠EDQ=90°时,利用△ADQ和△ACO相似,利用相似三角形对应边成比例列式求解即可;(iii)∠DQE=90°时,过点D作DF⊥AB于F,过点E作EG⊥AB于G,表示出BG、EG、GQ,AF、DF、QF,然后根据△EGQ和△QDF相似,利用相似三角形对应边成比例列式求解即可.
解答:解:(1)令y=0,则-x+4=0,
解得x=4,
令x=0,则y=4,
∴点A(4,0),C(0,4),
∵抛物线y=ax2-2ax+c经过点A、C,
16a-8a+c=0
c=4

解得
a=-
1
2
c=4

∴抛物线y=-
1
2
x2+x+4;

(2)①令y=0,则-
1
2
x2+x+4=0,
整理得,x2-2x-8=0,
解得x1=-2,x2=4,
∴点B(-2,0),
∴AB=4-(-2)=6,
∵直线l∥x轴,
∴△ABC∽△DEC,
DE
AB
=
4-t
4

DE
6
=
4-t
4

解得DE=
3
2
(4-t),
∴△QED的面积为S=
1
2
×
3
2
(4-t)×t=-
3
4
t2+3t,
S与t的函数关系式为S=-
3
4
t2+3t,
∵S=-
3
4
(t-2)2+3,
∴t=2时,S有最大值,最大值为3;

②(i)∠QED=90°时,∵DE∥x轴,
∴EQ⊥AB,
∴△BQE∽△BOC,
EQ
OC
=
BQ
OB

t
4
=
2t
2

所以,此种情况不成立;
(ii)∠EDQ=90°时,∵DE∥x轴,
∴DQ⊥AB,
∴△ADQ∽△ACO,
AQ
OA
=
DQ
CO

6-2t
4
=
t
4

解得t=3;
(iii)∠DQE=90°时,过点D作DF⊥AB于F,过点E作EG⊥AB于G,
则△BGE∽△BOC,
BG
OB
=
EG
OC

∴BG=
OB•EG
OC
=
2•t
4
=
1
2
t,
GQ=2t-
1
2
t=
3t
2

同理可求AF=t,DF=t,
QF=AB-BQ-AF=6-2t-t=6-3t,
易求△EGQ∽△QDF,
EG
QF
=
GQ
DF

t
6-3t
=
3t
2
t

解得t=
18
11

综上所述,t=
18
11
或3秒时,△QED为直角三角形.
点评:本题是二次函数综合题型,主要考查了待定系数法求二次函数解析式,相似三角形的判定与性质,三角形的面积,二次函数的最值问题,难点在于(2)②要分情况讨论.
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