练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （2012•宁波模拟）已知等边△ABC和Rt△DEF按如图所示的位置放置，点B，D重合，且点E、B（D）、C在同一条直线上．其中∠E=90°，∠EDF=30°，AB=DE=6
    		3
    ，现将△DEF沿直线BC以每秒
    		3
    个单位向右平移，直至E点与C点重合时停止运动，设运动时间为t秒．
    （1）试求出在平移过程中，点F落在△ABC的边上时的t值；
    （2）试求出在平移过程中△ABC和Rt△DEF重叠部分的面积s与t的函数关系式；
    （3）当D与C重合时，点H为直线DF上一动点，现将△DBH绕点D顺时针旋转60°得到△ACK，则是否存在点H使得△BHK的面积为4
    		3
    ？若存在，试求出CH的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）分当F在边AB上时和在AC边上时，两种情况进行讨论，分别利用相似三角形的对应边的比相等求得移动的距离，即可求得时间；
    （2）根据（1）得到的时间，即可根据t的范围分情况进行讨论，根据相似三角形的性质，以及三角形的面积公式即可得到函数解析式；
    （3）首先求得当B，H，K在一条直线上时CK的长度，然后利用：△BHK的面积、△BCK的面积、△XKH的面积、△BCH的面积之间的关系，即可得到一个关于CK的长度的方程，解得CK的长度．
    解答：解：（1）当F在边AB上时，如图（1），作AM⊥BC，则AM=
    		3
    2
    AB=
    		3
    2
    ×6
    		3
    =9，
    ∵AM⊥BC，∠FEB=90°
    ∴EF∥AM，
    ∴△BEF∽△BMA，
    ∴
    BE
    BM
    =
    EF
    AM
    ，即
    BE
    3
    		3
    =
    6
    9
    ，解得：BE=2
    		3
    ，则移动的距离是：6
    		3
    +2
    		3
    =8
    		3
    ，则t=
    8
    		3
    		3
    =8；
    当F在AC上时，如图（2）同理可得：EC=2
    		3
    ，则移动的距离是：2×6
    		3
    -2
    		3
    =12
    		3
    -2
    		3
    =10
    		3
    ，则t=
    10
    		3
    		3
    =10，
    故t的值是：8或10；





    （2）当0＜t≤6时，重合部分是三角形，如图（3），设AB与BE交于点N，
    则BD=
    		3
    t，
    则NB=
    1
    2
    BD=
    		3
    2
    t，ND=
    		3
    2
    BD=
    		3
    2
    ×
    		3
    t=
    3
    2
    t，则s=
    1
    2
    NB•ND=
    1
    2
    ×
    		3
    2
    t×
    3
    2
    t=
    3
    		3
    8
    t2；
    当6＜t≤8时，重合部分是：△EFD在△ABC左边的部分的面积是：
    1
    2
    （6-t）2 sin30°•cos30°
    =
    		3
    8
    （6-t）2，
    右边的部分的面积是：
    3
    2
    t-9，
    则S=18
    		3
    -
    		3
    8
    （6-t）2-
    3
    2
    t+9=-
    		3
    8
    t2+
    3
    		3
    -3
    2
    t+
    27
    		3
    2
    +9，
    当8＜t＜10时，如图（4），则CD=
    		3
    t-6
    		3
    ，
    ∵∠TCB=60°，∠D=30°
    ∴∠DTC=30°，
    ∴∠D=∠DTC，
    ∴TC=CD=
    		3
    t-6
    		3
    ，
    则在直角△THC中，TH=
    		3
    2
    TC=
    		3
    2
    （
    		3
    t-6
    		3
    ）=
    3
    2
    t-9，
    则s=18
    		3
    -
    1
    2
    CD•TH=18
    		3
    -
    1
    2
    （
    		3
    t-6
    		3
    ）（
    3
    2
    t-9）=-
    3
    		3
    4
    （t-6）2+18
    		3
    ；
    当10≤t＜12时，重合部分如图（5），
    EC=12
    		3
    -
    		3
    t，
    则直角△ECJ中，EJ=
    		3
    EC=
    		3
    （12
    		3
    -
    		3
    t），
    则s=
    1
    2
    EC•EJ=
    1
    2
    ×
    		3
    （12
    		3
    -
    		3
    t）2=
    3
    		3
    2
    （12-t）2．

    （3）当B，H，K在一条直线上时，CH=CK=BC•tan30°=6
    		3
    ×
    		3
    3
    =6，
    设CH=x，作HL⊥BC于点L，则HL=
    1
    2
    x，
    △CKH是边长是x的等边三角形，则面积是
    		3
    4
    x2，
    △BCH的面积是：
    1
    2
    BC•HL=3
    		3
    ×
    1
    2
    x=
    3
    		3
    2
    x，
    △BCK的面积是：3
    		3
    x．
    当0＜CH＜6时，△BHK的面积=△BCK的面积-△CKH的面积-△BCH的面积，即3
    		3
    x-
    3
    		3
    2
    x-
    		3
    4
    x2=4
    		3
    ，方程无解．
    当CH＞6时，△BHK的面积=△CKH的面积+△BCH的面积-△BCK的面积，即
    		3
    4
    x2+
    3
    		3
    2
    x-3
    		3
    x=4
    		3
    ，解得：x=8或-2（舍去），故x=8
    总之，CH=8．
    点评：本题考查了相似三角形的性质，正确对t的情况进行分类是关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•宁波模拟）如图，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），…，直线ln⊥x轴于点（n，0）（n为正整数）．函数y=x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点A1，A2，A3，…，An；函数y=2x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点B1，B2，B3，…，Bn．如果△OA1B1的面积记作S，四边形A1A2B2B1的面积记作S1，四边形A2A3B3B2的面积记作S2，…，四边形AnAn+1Bn+1Bn的面积记作Sn，那么S1=
    3
    2
    3
    2
    ，S2=
    5
    2
    5
    2
    ，S2012=
    2012
    1
    2
    2012
    1
    2
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•宁波模拟）6的倒数等于（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•宁波模拟）先化简，再求值：
    x2+4x+4
    x2-4
    -
    x
    x-2
    ，其中x=1．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•宁波模拟）设0＜n＜m，m2+n2=4mn，则
    m2-n2
    mn
    的值等于（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•宁波模拟）（1）如图1，正三角形ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上的任意一点，连接PB、PC，求证：PB+PC=PA．
    （2）如图2，四边形ABCD中，△ABM与△CDN是分别以AB、CD为一边的圆的内接正三角形，E、F分别在这两个三角形的外接圆上．请指出E、F两点的位置，使得AE+EB+EF+FC+FD的值最小，并证明你的结论．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案