Question

已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图①）．
（1）求证：BM=DN；
（2）如图②，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形；
（3）在（2）的条件下，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，求

MN

DN

的值．

Answer 1

分析：（1）连接BD，可证明△OBM≌△ODN，则BM=DN；
（2）先证明四边形AMCN是平行四边形，再由翻折得，AM=CM，则四边形AMCN是菱形；
（3）又S_△CDN：S_△CMN=1：3，可得DN：CM=1：3，设DN=k，则CN=CM=3k，过N作NG⊥MC于点G，则可求出NG和MN，从而求出比值．

解答：（1）证法一：连接BD，则BD过点O，
∵AD∥BC，
∴∠OBM=∠ODN，
又OB=OD，∠BOM=∠DON，
∴△OBM≌△ODN，
∴BM=DN；

证法二：∵矩形ABCD是中心对称图形，点O是对称中心，
∴B、D和M、N关于O点中心对称，
∴BM=DN；

（2）证法一：
∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
又BM=DN，
∴AN=CM，
∴四边形AMCN是平行四边形，
由翻折得，AM=CM，
∴四边形AMCN是菱形；

证法二：由翻折得，AE=CD，∠E=∠D，∠AMN=∠CMN，
又∵∠ANE=∠CND，
∴△ANE≌△CND，
∴AN=CN．
∵AD∥BC，
∴∠ANM=∠CMN，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
∴AM=MC=CN=NA，
∴四边形AMCN是菱形．

（3）解法一：∵S_△CDN=

1

2

DN•CD，S_△CMN=

1

2

CM•CD，
又S_△CDN：S_△CMN=1：3，
∴DN：CM=1：3，
设DN=k，则CN=CM=3k，
过N作NG⊥MC于点G，
则CG=DN=k，MG=CM-CG=2k，
NG=

CN2-CG2

=

9k2-k2

=2

2

k，
∴MN=

MG2+NG2

=

4k2+8k2

=2

3

k，
∴

MN

DN

=

2 3 k

k

=2

3

；

解法二：∵S_△CDN=

1

2

DN•CD，S_△CMN=

1

2

CM•CD，
又S_△CDN：S_△CMN=1：3，
∴DN：CM=1：3，
连接AC，则AC过点O，且AC⊥MN，
设DN=k，则CN=AN=CM=3k，AD=4k，
CD=

NC2-DN2

=

9k2-k2

=2

2

k，
OC=

1

2

AC=

1

2

AD2+CD2

=

1

2

16k2+8k2

=

6

k，
∴MN=2ON=2

CN2-OC2

=2

9k2-6k2

=2

3

k，
∴

MN

DN

=

2 3 k

k

=2

3

．

点评：图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，复合的部分就是对应量．