Question

【题目】如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．

（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．
①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积；
②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意得：A（4，0），C（0，4），对称轴为x=1．

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则有：

，

解得 ．

∴抛物线的函数解析式为：y=﹣ x2+x+4

（2）

解：①当m=0时，直线l：y=x．

∵抛物线对称轴为x=1，

∴CP=1．

如答图1，延长HP交y轴于点M，则△OMH、△CMP均为等腰直角三角形．

∴CM=CP=1，

∴OM=OC+CM=5．

S△OPH=S△OMH﹣S△OMP= （ OM）2﹣ OMCP= ×（ ×5）2﹣ ×5×1= ﹣ = ，

∴S△OPH= ．

②当m=﹣3时，直线l：y=x﹣3．

设直线l与x轴、y轴交于点G、点D，则G（3，0），D（0，﹣3）．

假设存在满足条件的点P．

（i）当点P在OC边上时，如答图2﹣1所示，此时点E与点O重合．

设PE=a（0＜a≤4），

则PD=3+a，PF= PD= （3+a）．

过点F作FN⊥y轴于点N，则FN=PN= PF，∴EN=|PN﹣PE|=| PF﹣PE|．

在Rt△EFN中，由勾股定理得：EF= = ．

若PE=PF，则：a= （3+a），解得a=3（ +1）＞4，故此种情形不存在；

若PF=EF，则：PF= ，整理得PE= PF，即a=3+a，不成立，故此种情形不存在；

若PE=EF，则：PE= ，整理得PF= PE，即 （3+a）= a，解得a=3．

∴P1（0，3）．

(ii)当点P在BC边上时，如答图2﹣2所示，此时PE=4．

若PE=PF，则点P为∠OGD的角平分线与BC的交点，有GE=GF，过点F分别作FH⊥PE于点H，FK⊥x轴于点K，

∵∠OGD=135°，

∴∠EPF=45°，即△PHF为等腰直角三角形，

设GE=GF=t，则GK=FK=EH= t，

∴PH=HF=EK=EG+GK=t+ t，

∴PE=PH+EH=t+ t+ t=4，

解得t=4 ﹣4，

则OE=3﹣t=7﹣4 ，

∴P2（7﹣4 ，4）

(iii)∵A（4，0），B（2，4），

∴可求得直线AB解析式为：y=﹣2x+8；

联立y=﹣2x+8与y=x﹣3，解得x= ，y= ．

设直线BA与直线l交于点K，则K（ ， ）．

当点P在线段BK上时，如答图2﹣3所示．

设P（a，8﹣2a）（2≤a≤ ），则Q（a，a﹣3），

∴PE=8﹣2a，PQ=11﹣3a，

∴PF= （11﹣3a）．

与(i)同理，可求得：EF= ．

若PE=PF，则8﹣2a= （11﹣3a），解得a=1﹣2 ＜0，故此种情形不存在；

若PF=EF，则PF= ，整理得PE= PF，即8﹣2a= （11﹣3a），解得a=3，符合条件，此时P3（3，2）；

若PE=EF，则PE= ，整理得PF= PE，即 （11﹣3a）= （8﹣2a），解得a=5＞ ，故此种情形不存在．

（iv）当点P在线段KA上时，如答图2﹣4所示．

∵PE、PF夹角为135°，

∴只可能是PE=PF成立．

∴点P在∠KGA的平分线上．

设此角平分线与y轴交于点M，过点M作MN⊥直线l于点N，则OM=MN，MD= MN，

由OD=OM+MD=3，可求得M（0，3﹣3 ）．

又因为G（3，0），

可求得直线MG的解析式为：y=（ ﹣1）x+3﹣3 ．

联立直线MG：y=（ ﹣1）x+3﹣3 与直线AB：y=﹣2x+8，

可求得：P4（1+2 ，6﹣4 ）．

（v）当点P在OA边上时，此时PE=0，等腰三角形不存在．

综上所述，存在满足条件的点P，点P坐标为：（0，3）、（3，2）、（7﹣4 ，4）、（1+2 ，6﹣4 ）．

【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）①如答图1，作辅助线，利用关系式S△OPH=S△OMH﹣S△OMP求解；②本问涉及复杂的分类讨论，如答图2所示．由于点P可能在OC、BC、BK、AK、OA上，而等腰三角形本身又有三种情形，故讨论与计算的过程比较复杂，需要耐心细致、考虑全面．