Question

抛物线y=ax²-2ax+b（a＞0）交x轴于A，B两点，交y轴于C；且满足OA•OB-OC=0，若C（0，-3）
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为M，将此抛物线顶点沿直线y=-x-3平移，平移后的抛物线与x轴交于A′、B′两点　若2≤A′B′≤6，试求出点M的横坐标的取值范围；
（3）过点C的直线y=x-3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB=t，且0＜t＜1．依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）设A点坐标为（x₁，0），（x₂，0）．
∵OA•OB-OC=0，
∴|x₁x₂|-3=0，
则|x₁x₂|=3，
又∵x₁＜0，x₂＞0，
∴x₁x₂＜3，
∴＜3，
又∵b=-3，
∴=-3，
∴a=1，
故函数解析式为y=x²-2x-3．

（2）设M（m，-m-3），平移后抛物线y=（x-m）²-m-3，
当A′B′=2时利用根与系数关系可得M点横坐标x=-2，
当A′B′=6时利用根与系数关系可得M点横坐标x=6，
故-2≤x≤6．

（3）当H在QB之间：
①△COQ∽△QHP，t=；
②△COQ∽△PHQ，t=，
当H在OQ之间：
∵PH∥OQ，
∴当Q与B重合时，△COQ∽△PHQ，t=．
分析：（1）设A点坐标为（x₁，0），（x₂，0），利用图象求出b的值，根据根与系数的关系求出a的值，即可求出函数解析式．
（2）设出M点坐标，得到平移后的抛物线，根据根与系数的关系求出m的取值范围．
（3）先假设存在，根据相似三角形的性质求出t的值即存在，若不存在t，则不存在．
点评：此题考查了抛物线与直线的性质及相似三角形的性质和根与系数的关系，综合性较强，解答时要注意数形结合．