Question

在平面直角坐标中，点A的坐标为（0，6），点B和点C在x轴上（点B在C的左边，点C在原点的右边），作BE⊥AC，垂足为E（E、A不重合），直线BE与y轴交于点D，若BD=AC．
（1）结合题意画出图形，并求出点B的坐标；
（2）设OC=x，△BOD的面积为S，求：S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵BE⊥AC，
∴∠ACO+∠DBO=90°，
∵AO⊥CO，
∴∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠CAO=∠DBO，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴OB=OA，
∴A（0，6），
∴OA=6，
∴OB=6，
如图1，点B在原点左边时，点B（-6，0），
如图2，点B在原点右边时，点B（6，0）；

（2）∵△AOC≌△BOD，
∴OC=OD=x，
∴△BOD的面积为S=×6x=3x，
∴S与x的函数关系式为S=3x（x＞0）．
分析：（1）分点B在原点左边和右边两种情况作出图形，然后根据同角的余角相等求出∠CAO=∠DBO，然后利用“角角边”证明△AOC和△BOD全等，根据全等三角形对应边相等可得OB=OA，再分点B在原点左边和右边两种情况写出点B的坐标即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得OC=OD，然后利用三角形的面积公式列式整理即可得解．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，坐标与图形性质，难点在于作出图形并分情况讨论．