Question

【题目】如图，对称轴是的抛物线与轴交于两点，与轴交于点，

求抛物线的函数表达式；

若点是直线下方的抛物线上的动点，求的面积的最大值；

若点在抛物线对称轴左侧的抛物线上运动，过点作铀于点，交直线于点，且，求点的坐标；

在对称轴上是否存在一点，使的周长最小，若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣2；（2）△PBC面积的最大值为2；（3）P（﹣3，﹣）或P（﹣5，）；（4）存在，点M（﹣1，﹣），△AMC周长的最小值为．

【解析】

（1）先由抛物线的对称性确定点B坐标，再利用待定系数法求解即可；

（2）先利用待定系数法求得直线BC的解析式，然后设出点P的横坐标为t，则可用含t的代数式表示出PE的长，根据面积的和差可得关于t的二次函数，再根据二次函数的性质可得答案；

（3）先设D（m，0），然后用m的代数式表示出E点和P点坐标，由条件可得关于m的方程，解出m的值即可得解；

（4）要使周长最小，由于AC是定值，所以只要使MA+MC的值最小即可，由于点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，则点M就是BC与抛物线对称轴的交点，由于点M的横坐标已知，则其纵坐标易得，再根据勾股定理求出AC+BC，即为周长的最小值．

解：（1）∵对称轴为x=﹣1的抛物线与x轴交于A（2，0），B两点，∴B（﹣4，0）．

设抛物线解析式是：y=a（x+4）（x﹣2），把C（0，﹣2）代入，得：a（0+4）（0﹣2）=﹣2，解得a=，

所以该抛物线解析式是：y=（x+4）（x﹣2）=x2+x﹣2；

（2）设直线BC的解析式为：y=mx+n，把B（﹣4，0），C（0，﹣2）代入得：，解得：，

∴直线BC的解析式为：y=﹣x﹣2，

作PQ∥y轴交BC于Q，如图1，设P（t，t2+t﹣2），则Q（t，﹣t﹣2），

∴PQ=﹣t﹣2﹣（t2+t﹣2）=﹣t2﹣t，∴S△PBC=S△PBQ+S△PCQ=PQ4=﹣t2﹣2t=﹣（t+2）2+2，

∴当t=﹣2时，△PBC面积有最大值，最大值为2；

（3）设D（m，0），∵DP∥y轴，∴E（m，﹣m﹣2），P（m，m2+m﹣2），

∵PE=OD，∴，

∴m2+3m=0或m2+5m=0，解得：m=﹣3，m=0（舍去）或m=﹣5，m=0（舍去），

∴P（﹣3，﹣）或P（﹣5，）；

（4）∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，∴当点M为直线BC与对称轴的交点时，MA+MC的值最小，如图2，此时△AMC的周长最小．

∵直线BC的解析式为y=﹣x﹣2x=﹣1，∴当x=﹣1时，y=﹣．

∴抛物线对称轴上存在点M（﹣1，﹣）符合题意，此时△AMC周长的最小值为AC+BC=．