Question

如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC＝∠ACB＝90°,E为AB的中点,

（1）求证：AC²＝AB•AD;
（2）求证：CE∥AD;
（3）若AD＝4,AB＝6,求的值．

Answer 1

（1）证明见解析;（2）证明见解析;（3）．

试题分析:（1）由AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,可证得△ADC∽△ACB,然后由相似三角形的对应边成比例,证得AC²=AB•AD;
（2）由E为AB的中点,根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,即可证得CE=AB=AE,继而可证得∠DAC=∠ECA,得到CE∥AD;
（3）易证得△AFD∽△CFE,然后由相似三角形的对应边成比例,求得的值．
试题解析:（1）证明:∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAB,
∵∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ADC∽△ACB,
∴AD:AC=AC:AB,
∴AC²=AB•AD;
（2）证明:∵E为AB的中点,
∴CE=AB=AE,
∴∠EAC=∠ECA,
∵∠DAC=∠CAB,
∴∠DAC=∠ECA,
∴CE∥AD;
（3）解:∵CE∥AD,
∴△AFD∽△CFE,
∴AD:CE=AF:CF,
∵CE=AB,
∴CE=×6=3,
∵AD=4,
∴,
∴．
考点:1.相似三角形的判定与性质,2.直角三角形斜边上的中线．