Question

如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
(1) 分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，求证：四边形AEGF是正方形；
(2) 设AD=x，建立关于x的方程模型，求出x的值.

Answer 1

（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．（1分）
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°．
∴∠EAF=90°．
又∵AD⊥BC，
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．
又∵AE=AD，AF=AD，
∴AE=AF．
∴四边形AEGF是正方形．
（2）解：设AD=x，则AE=EG=GF=x，
∵BD=2，DC=3，
∴BE=2，CF=3．
∴BG=x﹣2，CG=x﹣3．
在Rt△BGC中，BG²+CG²=BC²
∴（x﹣2）²+（x﹣3）²=5²，
∴（x﹣2）²+（x﹣3）²=5²，化简得，x²﹣5x﹣6=0．
解得x₁=6，x₂=﹣1（舍），
所以AD=x=6．

解析