Question

在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．

（1） 当点P与点C重合时（如图①）．求证：△BOG≌△POE；（4分）

（2）通过观察、测量、猜想：=    ，并结合图②证明你的猜想；（5分）

（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，求的值．（用含α的式子表示）（5分）

 

Answer 1

【答案】

（1）证明见解析（2），证明见解析（3）

【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，

∴OB=OP ， ∠BOC=∠BOG=90°。

∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO。

∴∠GBO=∠EPO 。∴△BOG≌△POE（AAS）。

（2）。证明如下：

如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=90⁰， ∠BPN=∠OCB。

∵∠OBC=∠OCB =45⁰，  ∴ ∠NBP=∠NPB。

∴NB=NP。

∵∠MBN=90⁰—∠BMN，  ∠NPE=90⁰—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE。

∴△BMN≌△PEN（ASA）。∴BM=PE。

∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF。

∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90⁰。

又∵PF=PF， ∴△BPF≌△MPF（ASA）。∴BF=MF ，即BF=BM。

∴BF=PE， 即。

（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，

∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90⁰。

由（2）同理可得BF=BM， ∠MBN=∠EPN。

∵∠BNM=∠PNE=90⁰，∴△BMN∽△PEN。

∴。

在Rt△BNP中，， ∴，即。

∴。

（1）由正方形的性质可由AAS证得△BOG≌△POE。

（2）过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，通过ASA证明△BMN≌△PEN得到BM=PE，通过ASA证明△BPF≌△MPF得到BF=MF，即可得出的结论。

（3）过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，同（2）证得BF=BM， ∠MBN=∠EPN，从而可证得△BMN∽△PEN，由和Rt△BNP中即可求得。