Question

【题目】如图，抛物线与坐标轴分别交于，，三点，连接，．

（1）直接写出，，三点的坐标；

（2）点是线段上一点（不与，重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接．若点关于直线的对称点恰好在轴上，求出点的坐标；

（3）在平面内是否存在一点，使关于点的对称（点，，分别是点，，的对称点）恰好有两个顶点落在该抛物线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）,,；（2）；（3）存在点或，使关于点的对称恰好有两个顶点落在该抛物线上．

【解析】

（1）分别令y=0，x=0，代入，即可得到答案；

（2）由点与点关于直线对称，且点在y轴上，轴，得，易得直线的解析式为：，设点的横坐标为，则，，列出关于t的方程，即可求解；

（3）根据题意，平行于轴，平行于轴，，，点在点的右边，点在点的下方，设点的横坐标为，则的横坐标为，点的横坐标为，分三种情况讨论：①若、在抛物线上，②若、在抛物线上，③，不可能同时在抛物线上，即可得到答案．

（1）令y=0，代入，得，解得：，

令x=0，代入 ，得: y=3，

∴,,；

（2）∵点与点关于直线对称，且点在y轴上，

∴，

∵轴，

∴，

∴，

∴，

设直线的解析式为：，

把,，代入，得：，

∴，

∴直线的解析式为：，

设点的横坐标为，则，，

∴，，

∴，解得：，（舍去），

∴；

（3）根据题意，平行于轴，平行于轴，，，点在点的右边，点在点的下方，设点的横坐标为，则的横坐标为，点的横坐标为．

①若、在抛物线上，则

∴

∴

∵点O与O′关于点P中心对称，即点P 是OO′的中点，

∴；

②若、在抛物线上，则，

解得：，

∴

同①可得：；

③，不可能同时在抛物线上，

综上所述存在点或，使关于点的对称恰好有两个顶点落在该抛物线上．