(2013•如皋市模拟)如图.矩形ABCD中.AB=10cm.BC=6cm．现有两个动点P.Q分别从A.B同时出发.点P在线段AB上沿AB方向作匀速运动.点Q在线段BC上沿BC方向作匀速运动.已知点P的运动速度为1cm/s.运动时间为t s．(1)设点Q的运动速度为12cm/s．①当△DPQ的面积最小时.求t的值,②当△DAP∽△QBP相似时.求t� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2013•如皋市模拟）如图，矩形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm．现有两个动点P，Q分别从A，B同时出发，点P在线段AB上沿AB方向作匀速运动，点Q在线段BC上沿BC方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1cm/s，运动时间为t s．
（1）设点Q的运动速度为

cm/s．
①当△DPQ的面积最小时，求t的值；
②当△DAP∽△QBP相似时，求t的值．
（2）设点Q的运动速度为a cm/s，问是否存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

分析：（1）①根据S_△DPQ=S_矩形ABCD-S_△DAP-S_△PBQ-S_△QCD代入得出二次函数的解析式，求出顶点坐标即可；
②根据△DAP∽△QBP得出

，代入得出方程

10-t

，求出即可；
（2）假设存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似，画出图形，则AP=t，BQ=at．以下分4种情况进行讨论：①当∠1=∠3=∠4时，有

，②当∠1=∠3=∠5时，③当∠1=∠2=∠4时，有

，④当∠1=∠2=∠5时，代入求出即可．

解答：解：（1）①S_△DPQ=S_矩形ABCD-S_△DAP-S_△PBQ-S_△QCD
=60-

×6×t-

×（10-t）×

×10×（6-

t）
=

t²-3t+30
=

（t-6）²+21．
∵0≤t≤10，∴当t=6 s时，S_△DPQ的最小值为21 cm²．
②当△DAP∽△QBP时，有

，
即

10-t

，解得t₁=-6+2

，t₂=-6-2

（舍去）．
∴t=-6+2

时，△DAP∽△QBP，
即t的值是-6+2

．

（2）假设存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似，

则AP=t，BQ=at．以下分4种情况进行讨论．
①当∠1=∠3=∠4时，有

，
∴

10-t

6-at

，解得t₁=2，t₂=18（舍去）．
此时a=

．
②当∠1=∠3=∠5时，有∠DPQ=∠PQD=∠PDQ=90°．
此等式不成立．∴不存在这样的a值．
③当∠1=∠2=∠4时，有

，
∴

10-t

6-at

，即有

60-6t=at2

36-6at=10t

整理，得5t²-36+180=0，△＜0，方程无实数解．
∴不存在这样的a值．
④当∠1=∠2=∠5时，∵AB∥DC，∴∠1=∠PDC＞∠5．故不存在这样的a值．
综上所述，存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似，此时a=

．

点评：本题考查了矩形的性质，三角形的面积，二次函数的最值，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．

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