Question

已知x₁，x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的两个实数根．
（1）是否存在实数k，使（2x₁-x₂）（x_l-2x₂）=-

3

2

成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
（2）求使

x1

x2

+

x2

x1

-2的值为整数的实数k的整数值．

Answer 1

分析：（1）把（2x₁-x₂）（x_l-2x₂）=-

3

2

，即2（x₁+x₂）²-9x₁x₂=-1.5，根据一元二次方程根与系数的关系求得方程两根的和与两根的积代入即可得到关于k的方程，即可求得k的值，然后判断是否满足即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得

x1

x2

+

x2

x1

-2=4-

4

k+1

，根据

x1

x2

+

x2

x1

-2的值为整数，以及k的范围即可确定k的取值．

解答：解：（1）根据题意，得
△=（-4k）²-4×4k（k+1）=-16k≥0．
解得k≤0．
又∵k≠0，∴k＜0．
由（2x₁-x₂）（x_l-2x₂）=-

3

2

得
2（x₁²+x₂²）-5x₁x₂=-1.5．
2（x₁+x₂）²-9x₁x₂=-1.5．
2-9×

k+1

4k

=-1.5
18k+18=28k，
解得k=1.8．
经检验k=1.8是方程2-9×

k+1

4k

=-1.5的解．
∵k＜0，∴不存在实数k．
（2）原式=

x 2 1 +x 2 2

x1x2

-2=

(x1+x2)2-2x1x2

x1x2

-2=

(x1+x2)2

x1x2

-4=

4

k+1

-4，
∴k+1=1或-1，或2，或-2，或4，或-4
解得k=0或-2，1，-3，3，-5．
∵k＜0．
∴k=-2，-3或-5．

点评：解决本题的关键是把所求的代数式整理成与根与系数有关的形式，注意所求值的取舍．