Question

“开发西部”是我国近几年的一项重要的战略决策．“攻坚”号筑路工程队在西部某地区修路过程中需要沿AB方向开山筑隧道（如图），为了加快施工进度，要在山的对面同时施工．因此，需要确定山对面的施工点．工程技术人员从AB上取一点C，测出以下数据：∠ACD的度数、CD的长度及∠D的度数．
（1）若∠ACD=135°，CD=500米，∠D=60°，试求开挖点E离开点D的距离（结果保留根号）；
（2）若∠ACD=α，CD=m米，∠D=β，试用α、β和m表示开挖点E离开点D的距离．（只需写出结论．）

Answer 1

分析：（1）作EH⊥DC于点H，在△EHD中，∠EHD=90°，∠D=60°，设DH=x，则DE=2x，EH=

3

x，又在△EHC中，∠EHC=90°，∠ECD=180-∠ACD=45°，CH=EH=

3

x，列出等式，解出x、2x即可；
（2）根据题意，DE=

DH

cosβ

，DH=

EH

tanβ

，tg（180°-α）=

EH

HC

，HC=m-DH=m-cosβ•DE，所以，DE=

tg(180°-α)×(m-cosβ×DE)

cosβ×tanβ

，整理可得，ED=

tg(180°-α)•m

[tg(180°-α)+tanβ]•cosβ

．

解答：解：（1）作EH⊥DC于点H，
∴∠EHD=∠EHC=90°，
在△EHD中，∠EHD=90°，∠D=60°，
设DH=x，则DE=2x，EH=

3

x，
又在△EHC中，∠EHC=90°，∠ECD=180-∠ACD=45°，EH=

3

x，
∴CH=EH=

3

x，
∵CD=500，
∴

3

x+x=500，
∴x=250

3

-250，
∴ED=2x=500

3

-500．
∴开挖点E离开点D的距离为(500

3

-500)（米）．

（2）ED=

tg(180°-α)•m

[tg(180°-α)+tanβ]•cosβ

，
ED=

m

[1+ctg(180°-α)•tanβ]•cosβ

，
ED=

m•sin(180°-α)

sin(α-β)

，等等．

点评：本题主要考查了解直角三角形的应用和三角函数知识，掌握三角函数的表示方法及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以解决．