Question

在直角坐标系中，A（0，4），B（4

3

，0）．点C从点B出发沿BA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点D从点A出发沿AO方向以每秒1个单位的速度向点O匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点C、D运动的时间是t秒（t＞0）．过点C作CE⊥BO于点E，连接CD、DE．
（1）当t为何值时，线段CD的长为4；
（2）当线段DE与以点O为圆心，半径为

3

2

的⊙O有两个公共交点时，求t的取值范围；
（3）当t为何值时，以C为圆心、CB为半径的⊙C与（2）中的⊙O相切？

Answer 1

分析：（1）过点C作CF⊥AD于点F，则CF，DF即可利用t表示出来，在Rt△CFD中利用勾股定理即可得到一个关于t的方程，从而求得t的值；
（2）易证四边形ADEC是平行四边形，过点O作OG⊥DE于点G，当线段DE与⊙O相切时，则OG=

3

2

，在直角△OEG中，OE可以利用t表示，则OG也可以利用t表示出来，当OG＜

3

2

时，直线与圆相交，据此即可求得t的范围；
（3）分两圆外切与内切两种情况进行讨论，当外切时，圆心距等于两半径的和，当内切时，圆心距等于圆C的半径减去圆O的半径，列出方程即可求得t的值．

解答：解：（1）过点C作CF⊥AD于点F，
在Rt△AOB中，OA=4，OB=4

3

，
∴∠ABO=30°，
由题意得：BC=2t，AD=t，
∵CE⊥BO，
∴在Rt△CEB中，CE=t，EB=

3

t，
∵CF⊥AD，AO⊥BO，
∴四边形CFOE是矩形，
∴OF=CE=t，OE=CF=4

3

-

3

t，
在Rt△CFD中，DF²+CF²=CD²，
∴（4-t-t）²+（4

3

-

3

t）²=4²，即7t²-40t+48=0，
解得：t=

12

7

，t=4，
∵0＜t＜4，
∴当t=

12

7

时，线段CD的长是4；

（2）过点O作OG⊥DE于点G（如图2），
∵AD∥CE，AD=CE=t
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴DE∥AB
∴∠GEO=30°，
∴OG=

1

2

OE=

1

2

（4

3

-

3

t）
当线段DE与⊙O相切时，则OG=

3

2

，
∴当

1

2

（4

3

-

3

t）＜

3

2

，且t≥4-

3

2

时，线段DE与⊙O有两个公共交点．
∴当 4-

3

＜t≤

5

2

时，线段DE与⊙O有两个公共交点；

（3）当⊙C与⊙O外切时，t=

61

40

；
当⊙C与⊙O内切时，t=

61

24

；
∴当t=

61

40

或

61

24

秒时，两圆相切．

点评：本题考查了勾股定理以及直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，正确理解四边形ADEC是平行四边形是关键．