Question

【题目】如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”，这条中线为“匀称中线”．

（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，若Rt△ABC是“匀称三角形”．

①请判断“匀称中线”是哪条边上的中线，

②求BC：AC：AB的值．

（2）如图②，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＞AC，∠BAC＝45°，S△ABC＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，点B的对应点为D，AD与⊙O交于点M，若△ACD是“匀称三角形”，求CD的长，并判断CM是否为△ACD的“匀称中线”．

Answer 1

【答案】（1）① “匀称中线”是BE，它是AC边上的中线，②BC：AC：AB＝；（2）CD＝a，CM不是△ACD的“匀称中线”．理由见解析.

【解析】

（1）①先作出Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF，然后利用匀称中线的定义分别验证即可得出答案；

②设AC＝2a，利用勾股定理分别把BC,AB的长度求出来即可得出答案.

（2）由②知：AC：AD：CD＝，设AC＝，则AD＝2a，CD＝，过点C作CH⊥AB，垂足为H，利用的面积建立一个关于a的方程，解方程即可求出CD的长度；假设CM是△ACD的“匀称中线”，看能否与已知的定理和推论相矛盾，如果能，则说明假设不成立，如果不能推出矛盾，说明假设成立.

（1）①如图①，作Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF，

∵∠ACB＝90°，

∴CF＝，即CF不是“匀称中线”．

又在Rt△ACD中，AD＞AC＞BC，即AD不是“匀称中线”．

∴“匀称中线”是BE，它是AC边上的中线，

②设AC＝2a，则CE＝a，BE＝2a，

在Rt△BCE中∠BCE＝90°，

∴BC＝，

在Rt△ABC中，AB＝，

∴BC：AC：AB＝

（2）由旋转可知，∠DAE＝∠BAC＝45°．AD＝AB＞AC，

∴∠DAC＝∠DAE+∠BAC＝90°，AD＞AC，

∵Rt△ACD是“匀称三角形”．

由②知：AC：AD：CD＝

设AC＝，则AD＝2a，CD＝，

如图②，过点C作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC＝90°，

∵∠BAC＝45°，

∴

∵

解得a＝2，a＝﹣2（舍去），

∴

判断：CM不是△ACD的“匀称中线”．

理由：假设CM是△ACD的“匀称中线”．

则CM＝AD＝2AM＝4，AM＝2，

∴

又在Rt△CBH中，∠CHB＝90°，CH＝ ，BH＝4-，

∴

即

这与∠AMC＝∠B相矛盾，

∴假设不成立，

∴CM不是△ACD的“匀称中线”．