Question

综合与探究：
如图，抛物线y=x²-x-4与x轴交与A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
（1）求点A，B，C的坐标．
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．
（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据坐标轴上点的特点，可求点A，B，C的坐标．
（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标，根据待定系数法可求直线BD的解析式，根据平行四边形的性质可得关于m的方程，求得m的值；再根据平行四边形的判定可得四边形CQBM的形状；
（3）分DQ⊥BD，BQ⊥BD两种情况讨论可求点Q的坐标．
解答：解：（1）当y=0时，x²-x-4=0，解得x₁=-2，x₂=8，
∵点B在点A的右侧，
∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（8，0）．
当x=0时，y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4）．

（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，则
，
解得k=-，b=4．
∴直线BD的解析式为y=-x+4．
∵l⊥x轴，
∴点M的坐标为（m，-m+4），点Q的坐标为（m，m²-m-4）．
如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，
∴（-m+4）-（m²-m-4）=4-（-4）．
化简得：m²-4m=0，
解得m₁=0（不合题意舍去），m₂=4．
∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形．
此时，四边形CQBM是平行四边形．
解法一：∵m=4，
∴点P是OB的中点．
∵l⊥x轴，
∴l∥y轴，
∴△BPM∽△BOD，
∴==，
∴BM=DM，
∵四边形CQMD是平行四边形，
∴DMCQ，
∴BMCQ，
∴四边形CQBM是平行四边形．

解法二：设直线BC的解析式为y=k₁x+b₁，则
，
解得k₁=，b₁=-4．
故直线BC的解析式为y=x-4．
又∵l⊥x轴交BC于点N，
∴x=4时，y=-2，
∴点N的坐标为（4，-2），
由上面可知，点M的坐标为（4，2），点Q的坐标为（4，-6）．
∴MN=2-（-2）=4，NQ=-2-（-6）=4，
∴MN=QN，
又∵四边形CQMD是平行四边形，
∴DB∥CQ，
∴∠3=∠4，
∵在△BMN与△CQN中，
，
∴△BMN≌△CQN（ASA）
∴BN=CN，
∴四边形CQBM是平行四边形．

（3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q₁（-2，0），Q₂（6，-4）．
若△BDQ为直角三角形，可能有三种情形，如答图2所示：

①以点Q为直角顶点．
此时以BD为直径作圆，圆与抛物线的交点，即为所求之Q点．
∵P在线段EB上运动，∴-8≤x_Q≤8，而由图形可见，在此范围内，圆与抛物线并无交点，
故此种情形不存在．
②以点D为直角顶点．
连接AD，∵OA=2，OD=4，OB=8，AB=10，
由勾股定理得：AD=，BD=，
∵AD²+BD²=AB²，∴△ABD为直角三角形，即点A为所求的点Q．
∴Q₁（-2，0）；
③以点B为直角顶点．
如图，设Q₂点坐标为（x，y），过点Q₂作Q₂K⊥x轴于点K，则Q₂K=-y，OK=x，BK=8-x．
易证△QKB∽△BOD，
∴，即，整理得：y=2x-16．
∵点Q在抛物线上，∴y=x²-x-4．
∴x²-x-4=2x-16，解得x=6或x=8，
当x=8时，点Q₂与点B重合，故舍去；
当x=6时，y=-4，
∴Q₂（6，-4）．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的特点，菱形的对称性，待定系数法求直线的解析式，平行四边形的判定和性质，方程思想和分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．