Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．
（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；
（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；
（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．
 

Answer 1

(1)A（2，0），B（1，0）；(2)∠ACB=90°；
(3)①当AC=BC时，n=﹣2；
②当AC=AB时，n=﹣；
③当BC=AB时，当n＞0时，n=，当n＜0时，n=﹣．

试题分析：
（1）已知m，n的值，即已知抛物线解析式，求解y=0时的解即可．此时y=x²﹣(m+n)x+mn=(x﹣m)(x﹣n），所以也可直接求出方程的解，再代入m，n的值，推荐此方式，因为后问用到的可能性比较大．
（2）求∠ACB，我们只能考虑讨论三角形ABC的形状来判断，所以利用条件易得﹣1=mn，进而可以用m来表示A、B点的坐标，又C已知，则易得AB、BC、AC边长．讨论即可．
（3）△ABC是等腰三角形，即有三种情形，AB=AC，AB=BC，AC=BC．由（2）我们可以用n表示出其三边长，则分别考虑列方程求解n即可．
试题解析：
解：（1）∵y=x²﹣(m+n)x+mn=（x﹣m)(x﹣n），
∴x=m或x=n时，y都为0，
∵m＞n，且点A位于点B的右侧，
∴A（m，0），B（n，0）．
∵m=2，n=1，
∴A（2，0），B（1，0）．
（2）∵抛物线y=x²﹣（m+n）x+mn（m＞n）过C（0，﹣1），
∴﹣1=mn，
∴n=﹣，
∵B（n，0），
∴B（﹣，0）．
∵AO=m，BO=﹣，CO=1
∴AC==，
BC==，
AB=AO+BO=m﹣，
∵（m﹣）²=（）²+（）²，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠ACB=90°．
（3）∵A（m，0），B（n，0），C（0，mn），且m=2，
∴A（2，0），B（n，0），C（0，2n）．
∴AO=2，BO=|n|，CO=|2n|，
∴AC==，
BC==|n|，
AB=xA﹣xB=2﹣n．
①当AC=BC时，=|n|，解得n=2（A、B两点重合，舍去）或n=﹣2；
②当AC=AB时，=2﹣n，解得n=0（B、C两点重合，舍去）或n=﹣；
③当BC=AB时，|n|=2﹣n，
当n＞0时，n=2﹣n，解得n=，
当n＜0时，﹣n=2﹣n，解得n=﹣．