Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y₁=2x²+的顶点为M，直线y₂=x，点P（n，0）为x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线y₁=2x²+和直线y₂=x于点A，点B．
（1）直接写出A，B两点的坐标（用含n的代数式表示）；
（2）设线段AB的长为d，求d关于n的函数关系式及d的最小值，并直接写出此时线段OB与线段PM的位置关系和数量关系；
（3）已知二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c为整数且a≠0），对一切实数x恒有x≤y≤2x²+，求a，b，c的值．

Answer 1

解：（1）当x=n时，y₁=2n²+，y₂=n；
∴A（n，2n²+），B（n，n）．

（2）d=AB=|y_A-y_B|=|2n²-n+|．
∴d=|2（n-）²+|=2（n-）²+．
∴当n=时，d取得最小值．
此时，B（，），而M（0，）、P（，0）
∴四边形OMBP是正方形
∴当d取最小值时，线段OB与线段PM的位置关系和数量关系是OB⊥PM且OB=PM．（如图）

（3）∵对一切实数x恒有 x≤y≤2x²+，
∴对一切实数x，x≤ax²+bx+c≤2x²+都成立．（a≠0）①
当x=0时，①式化为 0≤c≤．
∴整数c的值为0．
此时，对一切实数x，x≤ax²+bx≤2x²+都成立．（a≠0）
即 对一切实数x均成立．
由②得 ax²+（b-1）x≥0  （a≠0）对一切实数x均成立．
∴
由⑤得整数b的值为1．
此时由③式得，ax²+x≤2x²+对一切实数x均成立．（a≠0）
即（2-a）x²-x+≥0对一切实数x均成立．（a≠0）
当a=2时，此不等式化为-x+≥0，不满足对一切实数x均成立．
当a≠2时，∵（2-a）x²-x+≥0对一切实数x均成立，（a≠0）
∴
∴由④，⑥，⑦得 0＜a≤1．
∴整数a的值为1．
∴整数a，b，c的值分别为a=1，b=1，c=0．
分析：（1）由题意不难看出：点P、A、B三点的横坐标相同，将点P横坐标代入函数y₁、y₂的解析式中即可确定A、B两点的坐标．
（2）首先根据题意画出图形，可看出抛物线y₁的图象始终在直线y₂的上方，那么线段AB的长可由点A、B的纵坐标差求得，据此求出关于d、n的函数解析式，根据函数的性质先确定出符合题意的n、d值，即可确定点B、P的坐标，点M的坐标易得，根据这四点坐标即可确定线段OB、PM的位置和数量关系．
（3）首先将函数解析式代入不等式中，再根据利用函数图象解不等式的方法来求出待定系数的取值范围，最后根据a、b、c都是整数确定它们的值．
点评：该题考查的重点是二次函数的性质以及利用函数图象解不等式的方法；难点是最后一题，熟练掌握二次函数与不等式的关系是解题的关键：
若ax²+bx+c＞0（a≠0）恒成立，那么y=ax²+bx+c（a≠0）的函数图象：开口向上且抛物线与x轴无交点，即：a＞0且△=b²-4ac＜0．（可利用函数图象辅助理解）