Question

【题目】问题：如图甲，在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小和等边三角形的边长

探究：解题思路是：将绕点逆时针旋转，如图乙，连接

（1）是_______三角形，是______三角形，

（2）利用可以求出的边长为_______

拓展应用：如图丙，在正方形内有一点，且，，

（3）求度数的大小

（4）求正方形的边长

Answer 1

【答案】（1）等边；直角；；（2）；（3）；（4）

【解析】

试题分析：

探究：将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形（如图2），连接，可得是等边三角形，而又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以，而，进而求出等边的边长为，问题得到解决

拓展应用：求出，根据勾股定理的逆定理求出，推出，过点作，交延长线于点，求出，，利用勾股定理即可求出

试题解析：

解：（1）∵是等边三角形

∴

将绕点顺时针旋转得出

∴，，，

∵

∴

∴是等边三角形

∴，

∵，

∴

∴，则是直角三角形

∴

（2）过点作，交的延长线于点

∴，

由勾股定理得：

故答案为：等边；直角；；

（3）将绕点逆时针旋转得到

与（1）类似：可得，，，

∴

∴

由勾股定理得：

∵，，

∴

∴

∴

（4）过点作，交的延长线于点

∴

∴

∴

∴在中，由勾股定理，得

∴，正方形边长为