Question

已知：如图，⊙O₁与⊙O₂外切于C点，AB一条外公切线，A、B分别为切点，连接AC、BC．设⊙O₁的半径为R，⊙O₂的半径为r，若tan∠ABC=

2

，则

R

r

的值为（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、3

Answer 1

分析：根据切线长定理先证明∠ACB=90°，得直角三角形ABC；再由tan∠ABC=

AC

BC

=

2

，得两圆弦长的比；进一步求半径的比．

解答：解：如图，连接O₂B，O₁A，过点C作两圆的公切线CF，交于AB于点F，作O₁E⊥AC，O₂D⊥BC，
由垂径定理可证得点E，点D分别是AC，BC的中点，
由弦切角定理知，
∠ABC=∠FCB=

1

2

∠BO₂C，∠BAC=∠FCA=

1

2

∠AO₁C，
∵AO₁∥O₂B，
∴∠AO₁C+∠BO₂C=180°，
∴∠FCB+∠FCA=∠ACB=90°，
即△ACB是直角三角形，
∴∠ABC=∠BO₂D=∠ACO₁，
设∠ABC=∠BO₂D=∠ACO₁=β，
则有sinβ=

BC

2r

，cosβ=

AC

2R

，
∴tanβ=

R

r

•

BC

AC

=

R

r

•

1

tanβ

，
∴（tanβ）²=

R

r

=2．
故选C．

点评：本题综合性较强，综合了圆的有关知识，所以学生所学的知识要系统起来，不可单一．