Question

【题目】如图，抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．

（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1；（3）P（1， ）或（1， ）或（1， ）或（1，4）．

【解析】试题分析：（1）根据抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），可以求得抛物线的解析式；

（2）根据（1）中的解析式化为顶点式，即可得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴；

（3）首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可．

试题解析：（1）∵抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），∴，解得： ，即此抛物线的解析式是；

（2）∵=，∴此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1；

（3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为（1，y），分三种情况讨论：

①当PA=PD时=，解得，y=，即点P的坐标为（1， ）；

②当DA=DP时， =，解得，y=，即点P的坐标为（1， ）或（1， ）；

③当AD=AP时， =，解得，y=±4，即点P的坐标是（1，4）或（1，﹣4），当点P为（1，﹣4）时与点D重合，故不符合题意．

由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1， ）或（1， ）或（1， ）或（1，4）．