【题目】如图，已知∠xOy=90°，线段AB=10，若点A在Oy上滑动，点B随着线段AB在射线Ox上滑动(A，B与O不重合)，Rt△AOB的内切圆☉K分别与OA，OB，AB切于点E，F，P.
(1)在上述变化过程中，Rt△AOB的周长，☉K的半径，△AOB外接圆半径，这几个量中不会发生变化的是什么?并简要说明理由.
(2)当AE=4时，求☉K的半径r.
(3)当Rt△AOB的面积为S，AE为x，试求S与x之间的函数关系，并求出S最大时直角边OA的长.
【答案】(1)不会发生变化的是△AOB的外接圆半径，理由见解析； (2)r=2；(3)S=-x2+10x，OA=5
.
【解析】
(1）根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，AB的长不变，即△AOB的外接圆半径不变；（2）设⊙K的半径为r，连EK、KF，则四边形EOFK是正方形，根据切线长定理，可求得r；
（3）设AO=b，OB=a，可得出r=
，即2（b-x）+10=a+b，再由
，则S=-x2+10x．再求得该函数的顶点坐标的横坐标．
(1)不会发生变化的是△AOB的外接圆半径.理由如下:
∵∠AOB=90°,
∴AB是△AOB的外接圆的直径.
∵AB的长不变,
∴△AOB的外接圆半径不变.
(2)设☉K的半径为r,☉K与Rt△AOB相切于点E,F,P,连接EK,KF,
∴∠KEO=∠OFK=∠O=90°,
∴四边形EOFK是矩形.
又∵OE=OF,
∴四边形EOFK是正方形,
∴OE=OF=r,
∵☉K是Rt△AOB的内切圆,切点分别为点E,F,P
,∴AE=AP=4,PB=BF=6,
(4+r)2+(6+r)2=100,解得r=-12(不符合题意),r=2.
(3)设AO=b,OB=a,
∵☉K与Rt△AOB三边相切于点E,F,P,
∴OE=r=
,即2(b-x)+10=a+b,
∴10-2x=a-b,
∴100-40x+4x2=a2+b2-2ab.
∵S=
ab,
∴ab=2S,
∵a2+b2=102,
∴100-40x+4x2=100-4S,
∴S=-x2+10x=-(x-5)2+25.
∴当x=5时,S最大,即AE=BF=5,
∴OA=
=5.
一线名师提优试卷系列答案
阳光试卷单元测试卷系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用
，
表示直角三角形的两直角边
，下列四个说法：①
；②
；③
；④
；其中说法正确的是
A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在线段AB上取一点C（非中点），分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于点F，连接BD交CE于点G，AE和BD交于点H.
（1）求证：△ACE≌△DCB
（2）求∠BHE的度数
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知AB=24cm，CD=8cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求残片所在圆的面积.
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知ED为☉O的直径且ED=4，点A(不与点E，D重合)为☉O上一个动点，线段AB经过点E，且EA=EB，F为☉O上一点，∠FEB=90°，BF的延长线交AD的延长线于点C.
(1)求证:△EFB≌△ADE；
(2)当点A在☉O上移动时，直接回答四边形FCDE的最大面积为多少.
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】正方形
的边长为1，点
是
边上的一个动点（与
，
不重合），以为顶点在所在直线的上方作
（1）当
经过点
时，
①请直接填空：
________（可能，不可能）过
点：（图1仅供分析）
②如图2，在上截取
，过
点作
垂直于直线，垂足为点
，作
于
，求证：四边形
为正方形；
③如图2，将②中的已知与结论互换，即在上取点（点在正方形外部），过点作垂直于直线，垂足为点，作于，若四边形为正方形，那么
与
是否相等？请说明理由；
（2）当点在射线上且不过点时，设交边
于
，且
．在上存在点
，过点作
垂直于直线，垂足为点
，使得
，连接
，则当
为何值时，四边形
的面积最大？最大面积为多少？
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在直角坐标系中有
，
为坐标原点，
，将此三角形绕原点顺时针旋转
，得到
，二次函数
的图象刚好经过
三点．
（1）求二次函数的解析式及顶点
的坐标；
（2）过定点
的直线
与二次函数图象相交于
两点．
①若
，求
的值；
②证明：无论为何值，
恒为直角三角形；
③当直线
绕着定点旋转时，外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，对称轴是直线x＝－
，有下列结论：(1)ab＞0；(2)a＋b＋c＜0；(3)b＋2c＜0；(4)a－2b＋4c＞0.其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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