Question

【题目】如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，）、D（0，），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．

（1）①点B的坐标是　　 ；

②当点Q与点A重合时，点P的坐标为　　 ；

（2）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式及相应的自变量x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①（6，），②（3，）；（2）

【解析】

（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标；②由正切函数，即可求得∠CAO的度数，③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；

（2）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案．

解：（1）①∵四边形OABC是矩形，

∴AB=OC，OA=BC，

∵A（6，0）、C（0，2），

∴点B的坐标为：（6，2）；

②如图1：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，

∵∠PQO=60°，D（0，3），

∴PE=3，

∴AE=，

∴OE=OA-AE=6-3=3，

∴点P的坐标为（3，3）；

故答案为：①（6，2），②（3，3）；

（2）①当0≤x≤3时，

如图，OI=x，IQ=PItan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；

由题意可知直线l∥BC∥OA，

∴，

∴EF=

此时重叠部分是梯形，其面积为：

S梯形=（EF+OQ）OC=（3+x）

∴．

当3＜x≤5时，如图

AQ=OIIOOA=x36=x3

AH=(x3)

S=S梯形﹣S△HAQ=S梯形﹣AHAQ=（3+x）﹣

∴．

③当5＜x≤9时，如图

∵CE∥DP

∴

∴

∴

S=（BE+OA）OC=（12﹣）

∴．

④当x＞9时，如图

∵AH∥PI

∴

∴

∴

S=OAAH=．

综上：．