Question

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0＜α＜120°），得△A₁BC₁，交AC于点E，AC分别交A₁C₁、BC于D、F两点．

（1）如图①，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA₁与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图②，当α=30°时，试判断四边形BC₁DA的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求ED的长．

Answer 1

分析：（1）根据等边对等角的性质可得∠A=∠C，再根据旋转的性质可得∠ABE=∠C₁BF，AB=BC=A₁B=BC₁，然后利用“角边角”证明△ABE和△C₁BF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=BF，从而得解；
（2）先根据旋转的性质求出∠ABC₁=150°，再根据同旁内角互补，两直线平行求出AB∥C₁D，AD∥BC₁，证明四边形BC₁DA是平行四边形，又因为邻边相等，所以四边形BC₁DA是菱形；
（3）过点E作EG⊥AB于点G，等腰三角形三线合一的性质可得AG=BG=1，然后解直角三角形求出AE的长度，再利用DE=AD-AE计算即可得解．

解答：解：（1）EA₁=FC．理由如下：
∵AB=BC，∴∠A=∠C，
∵△ABC绕点B顺时针旋转角α得△A₁BC₁，
∴∠ABE=∠C₁BF，AB=BC=A₁B=BC₁，
在△ABE和△C₁BF中，

∠A=∠C1 AB=BC1 ∠ABE=∠C1BF

，
∴△ABE≌△C₁BF（ASA），
∴BE=BF，
∴A₁B-BE=BC-BF，
即EA₁=FC；

（2）四边形BC₁DA是菱形．理由如下：
∵旋转角α=30°，∠ABC=120°，
∴∠ABC₁=∠ABC+α=120°+30°=150°，
∵∠ABC=120°，AB=BC，
∴∠A=∠C=

1

2

（180°-120°）=30°，
∴∠ABC₁+∠C₁=150°+30°=180°，
∠ABC₁+∠A=150°+30°=180°，
∴AB∥C₁D，AD∥BC₁，
∴四边形BC₁DA是平行四边形，
又∵AB=BC₁，
∴四边形BC₁DA是菱形；

（3）过点E作EG⊥AB，
∵∠A=∠ABA₁=30°，
∴AG=BG=

1

2

AB=1，
在Rt△AEG中，AE=

AG

cos∠A

=

1

cos30°

=

2 3

3

，
由（2）知AD=AB=2，
∴DE=AD-AE=2-

2 3

3

．

点评：本题考查了旋转的性质，主要利用了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，以及解直角三角形，等腰三角形三线合一的性质，难度不大，利用好旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小，找出相等的线段是解题的关键．