Question

在半径为4的⊙O中，点C是以AB为直径的半圆的中点，OD⊥AC，垂足为D，点E是射线AB上的任意一点，DF∥AB，DF与CE相交于点F，设EF=x，DF=y．
（1）如图1，当点E在射线OB上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（2）如图2，当点F在⊙O上时，求线段DF的长；
（3）如果以点E为圆心、EF为半径的圆与⊙O相切，求线段DF的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，由OD⊥AC得D是AC的中点，则F也是CE的中点，CE=2x，OC=4，DF=y，OE=2y-4，在Rt△COE中，由勾股定理得出y与x之间的关系．
（2）连接OC、OF，由EF=

1

2

CE=OF=4求得CE，再求得OE、AE，则DF即可求出．
（3）此题需分两种情况：当⊙E与⊙O外切于点B时、当⊙E与⊙O内切于点B时及当⊙E与⊙O内切于点A时分别求出DF的值．

解答：解：（1）连接OC．

∵在⊙O中，AC是⊙O的弦，OD⊥AC，
∴CD=AD．
∵DF∥AB，
∴CF=EF．
∴DF=

1

2

AE=

1

2

（AO+OE）．
∵点C是以AB为直径的半圆的中点，
∴CO⊥AB．
∵EF=x，AO=CO=4，∴CE=2x，OE=

CE2-OC2

=

4x2-16

=2

x2-4

．
∴y=

1

2

（4+2

x2-4

）=2+

x2-4

．定义域为x≥2；

（2）当点F在⊙O上时，连接OC、OF．

EF=

1

2

CE=OF=4，
∴OC=OB=

1

2

AB=4．
∴DF=2+

42-4

=2+2

3

．

（3）当⊙E与⊙O外切于点B时，BE=FE．
∵CE²-OE²=CO²，
∴（2x）²-（x+4）²=4²，3x²-8x-32=0，
∴x₁=

4+4 7

3

，x₂=

4-4 7

3

（舍去）．
∴DF=

1

2

（AB+BE）=

1

2

（8+

4+4 7

3

）=

14+2 7

3

．
当⊙E与⊙O内切于点B时，BE=FE．
∵CE²-OE²=CO²，
∴（2x）²-（4-x）²=4²，3x²+8x-32=0．
∴x₁=

-4+4 7

3

，x₂=

-4-4 7

3

（舍去）．
∴DF=

1

2

（AB-BE）=

1

2

（8-

-4+4 7

3

）=

14-2 7

3

．
当⊙E与⊙O内切于点A时，AE=FE．∵CE²-OE²=CO²，
∴（2x）²-（4-x）²=4²，3x²+8x-32=0．
∴x₁=

-4+4 7

3

，x₂=

-4-4 7

3

（舍去）．
∴DF=

1

2

AE=

2 7 -2

3

．

点评：此题考查了切线的性质、勾股形里及中位线的性质等内容，综合性强，难度大．