Question

四边形ABCD是正方形（提示：正方形四边相等，四个角都是90°）

（1）如图1，点G是BC边上任意一点（不与点B、C重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．
求证：△ABF≌△DAE；（2）直接写出（1）中，线段EF与AF、BF的等量关系

EF=AF-BF

；
（3）①如图2，若点G是CD边上任意一点（不与点C、D重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，则图中全等三角形是

△ABF≌△DAE

，线段EF与AF、BF的等量关系是

EF=BF-AF

；
②如图3，若点G是CD延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，线段EF与AF、BF的等量关系是

EF=AF+BF

；
（4）若点G是BC延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，请画图、探究线段EF与AF、BF的等量关系．

Answer 1

分析：（1）根据正方形性质得出AB=AD，∠DAB=90°，根据垂直定义得出∠AED=∠AFB=90°，求出∠ADE=∠BAF，根据AAS证出两三角形全等即可；
（2）根据全等得出AE=BF，代入即可求出答案；
（3）①△ABF≌△DAE，EF=BF-AF，证法与（1）（2）类似；②EF=AF+BF，证明过程类似；
（4）根据正方形性质得出AB=AD，∠DAB=90°，根据垂直定义得出∠AED=∠AFB=90°，求出∠ADE=∠BAF，根据AAS证出两三角形全等即可

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAE=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∵在△ABF和△DAE中

∠ADE=∠BAF ∠AED=∠AFB AB=AD

，
∴△ABF≌△DAE（AAS）；

（2）
解：线段EF与AF、BF的等量关系是EF=AF-BF，
理由是：∵由（1）知：△ABF≌△DAE，
∴BF=AE，
∴EF=AF-AE=AF-BF，
故答案为：EF=AF-BF；

（3）①解：△ABF≌△DAE，EF=BF-AF，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAE=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∵在△ABF和△DAE中

∠ADE=∠BAF ∠AED=∠AFB AB=AD

，
∴△ABF≌△DAE（AAS）；
∴AE=BF，
∴EF=AE-AF=BF-AF，
故答案为：△ABF≌△DAE，EF=BF-AF；

②解：EF=AF+BF，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAF=180°-90°=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∵在△ABF和△DAE中

∠ADE=∠BAF ∠AED=∠AFB AB=AD

，
∴△ABF≌△DAE（AAS）；
∴AE=BF，
∴EF=AE+AF=AF+BF，
故答案为：EF=AF+BF；
（4）解：
与以上证法类似：△ABF≌△DAE（AAS）；
∴AE=BF，
∴EF=AE-AF=BF-AF；
即EF=BF-AF．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，证明过程类似．