Question

我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a＋b)ⁿ(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1, 恰好对应着＝a³＋3a²b＋3ab²＋b²展开式中的系数等等．

(1)根据上面的规律，写出(a＋b)⁵的展开式．

(2)利用上面的规律计算：2⁵－5×2⁴＋10×2³－10×2²＋5×2－1.

Answer 1

分析　(1)由(a＋b)＝a＋b，(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，(a＋b)³＝a³＋3a²b＋3ab²＋b³可得(a＋b)ⁿ的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a＋b)^n－1的相邻两个系数的和，由此可得(a＋b)⁴的各项系数依次为1、4、6、4、1；因此(a＋b)⁵的各项系数依次为1、5、10、10、5、1.

(2)将2⁵－5×2⁴＋10×2³－10×2²＋5×2－1写成“杨辉三角”的展开式形式，逆推可得结果．

解　(1) (a＋b)⁵＝a⁵＋5a⁴b＋10a³b²＋10a²b³＋5ab⁴＋b⁵

(2)原式＝2⁵＋5×2⁴×(－1)＋10×2³×(－1)²＋10×2²×(－1)³＋5×2×(－1)⁴＋(－1)⁵＝(2－1)⁵＝1.