Question

抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为x=1，B(3,0),C(0,-3)，

（1）求二次函数的解析式；

（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M,N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．

Answer 1

解：（1）将C(0,-3)代入，得 c＝3．

将c＝3，B(3,0)代入，

得 ．……….(1)

∵是对称轴，

∴          (2)

将（2）代入（1）得：，    ．

所以，二次函数得解析式是．

（2）AC与对称轴的交点P即为到B、C的距离之差最大的点．

∵C点的坐标为(0,-3)，A点的坐标为(-1,0)，

∴ 直线AC的解析式是，又对称轴为，

∴ 点P的坐标(1,-6)．

（3）设，所求圆的半径为r，则 ，

     ∵ 对称轴为， ∴  ．

由（1）、（2）得：．……….(3)

将代入解析式，

得  ，………….(4)

整理得： ．

由于

当时，，

解得， ，  （舍去），

当时，，

解得，  ，  （舍去）．

所以圆的半径是或．