Question

阅读材料并回答问题：
（1）方程x²+2x+1=0的根为x₁=-1，x₂=-1，x₁+x₂=-2；x₁x₂=1．方程3x²+4x-7=0的根为x₁=1，x₂=-

7

3

，x₁+x₂=-

4

3

，x₁x₂=-

7

3

．方程ax²+bx+c=0（b²-4ac≥0）的根为x₁=

-b+ b2-4ac

2a

，x₂=

-b- b2-4ac

2a

，
x₁+x₂=

 

，x₁x₂=

 

（2）从（1）中你一定发现了一定的规律，这个规律是

 

；
（3）用你发现的规律解答下列问题：
①不解方程，直接计算：方程x²-2x-1=0的两根分别是x₁•x₂，则x₁+x₂=

 

，x₁•x₂=

 

；
②方程x²-3x+1=0的两根分别是x₁•x₂，则x₁²+x₂²=

 

；
③已知一元二次方程x²-3x-3a=0的一个根为6，求a及方程的另一个根．

Answer 1

分析：（1）利用一元二次方程的求根公式，求出两根的和与积，即可得到答案．
（2）根据（1）得到两根得和与两根的积与系数的关系．
（3）利用一元二次方程的根与系数的关系，两根的和是3，即可求得另一根，再根据两根的积是-3a，即可求得a的值．

解答：解：（1）-

b

a

；

c

a

．
（2）一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，且a，b，c是常数）的两个根为x₁、x₂．
则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂，=

c

a

．
（3）①2；-

1

2

．②7．
③另一根为x₂=3-6=-3；6×（-3）=-3a，解得a=6．

点评：可利用根与系数的关系使问题简化，不必把方程的解代入求值．