Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点.

（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交轴于点E、F两点，求劣弧  的长；
（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.

Answer 1

（1）
（2）   （3）当点P坐标为或时，
△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分．    

解析试题分析：（1）∵抛物线经过点，，．
∴， 解得.
∴抛物线的解析式为：.           3分
（2）易知抛物线的对称轴是.把x=4代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．
∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8．                    4分
连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M．
在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．
∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°．                   6分
∴劣弧EF的长为：．                7分
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点.
∴，解得.∴直线AC的解析式为：.   8分
设点，PG交直线AC于N，
则点N坐标为.∵.
∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=GN.
即=.
解得：m₁=－3， m₂=2（舍去）.
当m=－3时，=.
∴此时点P的坐标为.                   10分
②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1， PG=3GN.
即=.
解得：，（舍去）.当时，=.
∴此时点P的坐标为.
综上所述，当点P坐标为或时，
△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分．    
考点：圆与抛物线
点评：本题是圆与抛物线知识的题，本题考查用待定系数法求抛物线的解析式，直线与圆相交及相切，用待定系数法求直线与圆的交点，直线，圆，抛物线三者放在一起，是考试热点