Question

如图，已知二次函数L₁：y＝x²－4x＋3与x轴交于A．B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C．

(1)写出二次函数L₁的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(2)研究二次函数L₂：y＝kx²－4kx＋3k(k≠0)．

①写出二次函数L₂与二次函数L₁有关图象的两条相同的性质；

②若直线y＝8k与抛物线L₂交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c中：a的值决定了抛物线的开口方向，a＞0时，抛物线的开口向上；a＜0时，抛物线的开口向下． 　　抛物线的对称轴方程：x＝－；顶点坐标：(－，)． 　　(2)①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析． 　　②联系直线和抛物线L2的解析式，先求出点E、F的坐标，进而可表示出EF的长，若该长度为定值，则线段EF的长不会发生变化． 　　解答：解：(1)抛物线y＝x2－4x＋3中，a＝1、b＝－4、c＝3； 　　∴－＝－＝2，＝＝－1； 　　∴二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标(2，－1)． 　　(2)①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质： 　　对称轴为x＝2或定点的横坐标为2， 　　都经过A(1，0)，B(3，0)两点； 　　②线段EF的长度不会发生变化． 　　∵直线y＝8k与抛物线L2交于E、F两点， 　　∴kx2－4kx＋3k＝8k， 　　∵k≠0，∴x2－4x＋3＝8， 　　解得：x1＝－1，x2＝5，∴EF＝x2－x1＝6， 　　∴线段EF的长度不会发生变化． 　　点评：该题主要考查的是函数的基础知识，有：二次函数的性质、函数图象交点坐标的解法等，难度不大，但需要熟练掌握．

提示：

二次函数综合题．