Question

已知：抛物线M：y=x²+（m-1）x+（m-2）与x轴相交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）若x₁x₂＜0，且m为正整数，求抛物线M的解析式；
（Ⅱ）若x₁＜1，x₂＞1，求m的取值范围；
（Ⅲ）试判断是否存在m，使经过点A和点B的圆与y轴相切于点C（0，2）？若存在，求出m的值；若不存在，试说明理由；
（Ⅳ）若直线l：y=kx+b过点F（0，7），与（Ⅰ）中的抛物线M相交于P，Q两点，且使

PF

FQ

=

1

2

，求直线l的解析式．

Answer 1

分析：（1）本题有多种解法．首先由题意可得x₁x₂=m-2＜0，可求出m值，然后根据题意求出解析式即可．
（2）已知题意x₁＜1，x₂＞1推出（x₁-1）（x₂-1）＜0，然后可知x₁+x₂=-（m-1），x₁x₂=m-2，代入等式可解．
（3）存在．根据题意因为过A，B两点的圆与y轴相切于点C（0，2），所以A，B两点在y轴的同侧，故x₁x₂＞0，
再根据圆的切割线定理得知OC²=OA•OB．
（4）首先分别假设P．Q的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．由平行线定理求出x₂与x₁的等量关系．再证明△FP₂P∽△FQ₂Q，求出x₁的值，根据实际情况取值．

解答：解：（1）解法一：由题意得，x₁x₂=m-2＜0．（1分）
解得，m＜2．
∵m为正整数，
∴m=1．
∴y=x²-1．（2分）
解法二：由题意知，当x=0时，y=0²+（m-1）×0+（m-2）＜0．（1分）
（以下同解法一）
解法三：∵△=（m-1）²-4（m-2）=（m-3）²，
∴x=

-(m-1)±(m-3)

2

，
∴x₁=-1，x₂=2-m．
又∵x₁x₂＜0，
∴x₂=2-m＞0．（1分）
∴m＜2．
（以下同解法一．）
解法四：令y=0，即x²+（m-1）x+（m-2）=0，
∴（x+1）（x+m-2）=0
∴x₁=-1，x₂=2-m．
（以下同解法三．）

（2）解法一：∵x₁＜1，x₂＞1，
∴x₁-1＜0，x₂-1＞0．
∴（x₁-1）（x₂-1）＜0，
即x₁x₂-（x₁+x₂）+1＜0．（3分）
∵x₁+x₂=-（m-1），x₁x₂=m-2，
∴（m-2）+（m-1）+1＜0．（4分）
解得m＜1．
∴m的取值范围是m＜1．（5分）
解法二：由题意知，当x=1时，
y=1+（m-1）+（m-2）＜0．（4分）
解得：m＜1．
∴m的取值范围是m＜1．（5分）
解法三：由（Ⅰ）的解法三、四知，x₁=-1，x₂=2-m．
∵x₁＜1，x₂＞1，
∴2-m＞1，（4分）
∴m＜1．
∴m的取值范围是m＜1．（5分）

（3）存在．
解法一：因为过A，B两点的圆与y轴相切于点C（0，2），
所以A，B两点在y轴的同侧，
∴x₁x₂＞0．（6分）
由切割线定理知，OC²=OA•OB，（7分）
即2²=|x₁||x₂|．
∴|x₁x₂|=4
∴x₁x₂=4．
∴m-2=4．
∴m=6．（8分）
解法二：连接O'B，O'C．
圆心所在直线x=-

b

2a

=-

m-1

2

=

1-m

2

，（6分）
设直线x=

1-m

2

与x轴交于点D，圆心为O'，
则O'D=OC=2，O'C=OD=

|1-m|

2

．
∵AB=|x₂-x₁|=

(m-3)2

=|m-3|，BD=

AB

2

，
∴BD=

|m-3|

2

．（7分）
在Rt△O′DB中，
O'D²+DB²=O'B²．
即22+(

m-3

2

)2=(

1-m

2

)2．
解得m=6．（8分）

（4）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则y₁=x₁²-1，y₂=x₂²-1．
过P，Q分别向x轴引垂线，垂足分别为P₁（x₁，0），Q（x₂，0）．
则PP₁∥FO∥QQ₁．
所以由平行线分线段成比例定理知，

P1O

OQ1

=

PF

FQ

．
因此，

0-x1

x2-0

=

1

2

，即x₂=-2x₁．（9分）
过P，Q分别向y轴引垂线，垂足分别为P₂（0，y₁），Q₂（0，y₂），
则PP₂∥QQ₂．所以△FP₂P∽△FQ₂Q．
∴

P2F

FQ2

=

FP

FQ

．
∴

7-y1

y2-7

=

1

2

．
∴21-2y₁=y₂．（10分）
∴21-2（x₁²-1）=x₂²-1
∴23-2x₁²=4x₁²-1
∴x₁²=4，
∴x₁=2，或x₁=-2．（11分）
当x₁=2时，点P（2，3）．
∵直线l过P（2，3），F（0，7），
∴

7=k×0+b 3=k×2+b

，
解得

b=7 k=-2

当x₁=-2时，点P（-2，3）．
∵直线l过P（-2，3），F（0，7），
∴

7=k×0+b 3=k×(-2)+b

，
解得

b=7 k=2

故所求直线l的解析式为：y=2x+7，或y=-2x+7．（12分）

点评：[点评]本题对学生有一定的能力要求，涉及了初中数学的大部分重点章节的重点知识，是一道选拔功能卓越的好题．