Question

【题目】已知是的外接圆，是的直径，过的中点作的直径交弦于点，连接、、.

（1）如图1，若点是线段的中点，求的度数；

（2）如图2，在上取一点，使，求证：；

（3）如图3，取的中点，连接并延长交于点，连接和交于点，若，且，求的长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据垂径定理可得是的垂直平分线，又由点是线段的中点，可得是的垂直平分线，进而得出为等边三角形，由直径所对的圆周角是直角，可在Rt△ABC中根据角的运算即可求出结果.

（2）根据内错角相等，两直线平行可得，由得出边角相等，进而得出，得出四边形是平行四边形，得到.

（3）由点是中点，得出是中位线，如图所示构造辅助线，根据已知条件，运用勾股定理列出方程，解出方程.

（1）解：连接

∵点是中点

∴

又∵

∴是的垂直平分线

又∵是中点

∴是的垂直平分线

∴

又∵

∴为等边三角形

∴

∵是直径

∴

∴

（2）证明：连接

由（1）可知

∵

∴

∴

∴

同理可知

∴

∴

∴

∴

∴四边形是平行四边形

∴

（3）由（1）可知点是中点

∵点是中点

∴是中位线

即

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∴

延长交于点，连接，连接并延长交于点，连接和，延长和相交于点.

∵

∴

∵是的直径

∴

∴

∴

过点作，垂足为，过点作，垂足为，

设则，，，，，，

∴

∵是的中位线

∴

在中

在中设，，，

在中，

在中解得（舍去）

，

∵

∴

∴

在中，，，

在中