Question

如图，已知对称轴为直线x=4的抛物线交x轴于点A、B（点A在B左侧），且点B坐标为（6，0），过点B的直线交抛物线于点C（3，4）．
（1）写出点A坐标；
（2）求抛物线解析式；
（3）若点P在抛物线的BC段上，则x轴上时否存在点Q，使得以Q、B、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请分别求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由；
（4）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值，以M、N、B为顶点的三角形与△ABC相似，写出计算过程．

Answer 1

分析：（1）设对称轴与x轴交于点D．由B点的坐标就可以求出DB的长度，根据抛物线的对称性就可以求出AD的长度，又知道D点的横坐标就可以求出点A的坐标．
（2）利用待定系数法把A、B、C三点的坐标代入解析式就可以求出抛物线的解析式．
（3）∵BQ∥CP，∴可以求出点P的坐标，从而求出PC的长，∵PC=BQ，就可以求出Q点的坐标．
（4）根据两点间的距离公式BC、AB的长度，再利用相似三角形的对应线段成比例就可以求出t的值．

解答：解：（1）设对称轴x=4交x轴于点D
∴D（4，0）
∵B（6，0）
∴BD=2，由抛物线的对称性得：
AD=2
∴A（2，0）；

（2）设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-6），得
4=a（3-2）（3-6）解得
a=-

4

3

抛物线的解析式为：y=-

4

3

x²+

32

3

x-16

（3）∵四边形PCQB为平行四边形
∴PC∥QB，PC=QB
∴P点的纵坐标为4
∴4=-

4

3

x²+

32

3

x-16，
解得x=3（不符合题意）或5
∴P（5，4）
∴PC=5-3=2
∴QB=2
∴Q（4，0）或（8，0）
∴P（5，4），Q（4，0）或P（5，4），Q（8，0）；

（4）当运行t秒时
∴BN=2t，AM=t，BM=4-t
当△BMN∽△BAC
∴

BN

BC

=

BM

AB

∵C（3，4），B（6，0），由两点间的距离公式得
BC=5
∵A（2，0）
∴AB=4
∴

2t

5

=

4-t

4

，
解得t=

20

13

当△BNM∽△BAC时
∴

BN

BA

=

BM

BC

∴

2t

4

=

4-t

5

，
解得t=

8

7

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了抛物线的对称性，待定系数法求函数的解析式的运用，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．