Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是直径，AD是高交⊙O于F，连接BE、CF，下列结论正确的有几个？
①BE=CF；②AB•AC=AD•AE；③AD•DF=BD•CD；④AD²+BD²+FD²+CD²=AE²．

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

D
分析：由△ABC是⊙O的内接三角形，AE是直径，AD是高，易证得△ABE∽△ADC，△ABD∽△CFD，然后由相似三角形的性质，证得①②③正确，又由勾股定理，即可证得④正确．
解答：∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∵∠E=∠ACB，
∴△ABE∽△ADC，
∴∠BAE=∠CAF，AB：AD=AE：AC，
∴=，AB•AC=AD•AE；
∴BE=CF，
故①②正确；
∵∠ABC=∠AFC，∠BAF=∠BCF，
∴△ABD∽△CFD，
∴AD：CD=BD：DF，
∴AD•DF=BD•CD；
故③正确；
∵在Rt△ABD中，AD²+BD²=AB²，
在Rt△CDF中，FD²+CD²=CF²，
在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，
∵BE=CF，
∴AD²+BD²+FD²+CD²=AE²．
故④正确．
故选D．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．