Question

已知，如图1，过点作平行于轴的直线，抛物线上的两点的横坐标分别为1和4，直线交轴于点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点、，连接．

（1）求点的坐标；

（2）求证：；

（3）点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点，过点作交轴于点，是否存在点使得与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解:方法一，如图1，当时,

当时,

∴

设直线的解析式为

则　　　解得

∴直线的解析式为

当时,

方法二:求两点坐标同方法一,如图2,作,,垂足分别为、,交轴于点,则四边形和四边形均为矩形,设

解得

(2)证明：方法一：在中，

在中，

由（1）得

方法二：由 （1）知

同理：

同理：

即

（3）存在.

解：如图3，作轴，垂足为点

又

设，则

①当时，

解得

②当时，

解得

综上，存在点、使得与相似.