Question

如图，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点
（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值？
（3）在AC上是否存在点E，使△ADE是等腰三角形？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证△ABD∽△DCE．
（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式，根据函数图象的顶点坐标可求出其最小值．
（3）当△ADE是等腰三角形时，因为三角形的腰和底不明确，所以应分AD=DE，AE=DE，AD=AE三种情况讨论求出满足题意的AE的长即可．

解答：（1）证明：
∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠B=∠C=∠ADE=45°
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△DCE；

（2）由（1）得△ABD∽△DCE，
∴

BD

EC

=

AB

CD

∵∠BAC=90°，AB=AC=1，
∴BC=

2

，DC=

2

-x，EC=1-y，
∴

x

1-y

=

1

2 -x

，y=x²-

2

x+1=（x-

2

2

）²+

1

2

，
当x=

2

2

时，y有最小值，最小值为

1

2

；

（3）当AD=DE时，△ABD≌△CDE，
∴BD=CE，
∴x=1-y，即

2

x-x²=x，
∵x≠0，
∴等式左右两边同时除以x得：x=

2

-1
∴AE=1-x=2-

2

，
当AE=DE时，DE⊥AC，此时D是BC中点，E也是AC的中点，
所以，AE=

1

2

；
当AD=AE时，∠DAE=90°，D与B重合，不合题意；
综上，在AC上存在点E，使△ADE是等腰三角形，
AE的长为2-

2

或

1

2

．

点评：此题综合考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，但难度适中，是一道好题．