Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，AD=6，BC=14，AE=4

3

，点F在DC上运动，连接EF、AF．
（1）求∠B的度数．
（2）设FC=x，△FEC的面积为y，用含x的代数式表示y．
（3）当△FEC的面积为等腰梯形面积的

1

4

时，判断AF与EF的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）过D作DM⊥BC于M，求出BE=CM，求出BE值，解直角三角形即可求出答案．
（2）过E作EN⊥CD于N，求出CE，解直角三角形求出EN，根据三角形面积公式求出即可．
（3）根据面积得出关于x的方程，求出CF，过F作FQ∥AD，交AE于Q，求出Q为AE中点，FQ⊥AE，根据线段垂直平分线求出即可．

解答：解：（1）
过D作DM⊥BC于M，
∵AE⊥BC，
∴∠AEM=∠AEB=∠DMC=∠DME=90°，AE∥DM，
∵AD∥BC，
∴四边形AEMD是矩形，
∴AE=DM，
∵AB=DC，
∴在Rt△AEB和Rt△DMC中，由勾股定理得：BE=CM=

1

2

（BC-AD）=

1

2

×（14-6）=4，
在Rt△AEB中，tanB=

AE

BE

=

4 3

4

=

3

，
∴∠B=60°．

（2）
过E作EN⊥CD于N，
则∠ENC=90°，CE=14-4=10，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠C=∠B=60°，
∴∠CEN=30°，
∴CN=

1

2

CE=5，由勾股定理得：EN=

102-52

=5

3

，
即y=

1

2

CF•EN=

1

2

x•5

3

，
∴y=

5 3

2

x．

（3）AF=EF，
证明：梯形ABCD的面积是

1

2

×（AD+BC）×AE=

1

2

（6+14）×4

3

=40

3

，
∵△FEC的面积为等腰梯形面积的

1

4

，
∴y=

5 3

2

x=

1

4

×40

3

，
解得：x=4，
即CF=4，
∵在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB=DC=

42+(4 3 )2

=8，
∴F为CD中点，
过F作FQ∥AD，交AE于Q，
∵AD∥BC，
∴AD∥FQ∥BC，
∴AQ=EQ，
∵AE⊥BC，
∴FQ⊥AE，
∴AF=EF．

点评：本题考查了等腰梯形性质，矩形的性质和判定，勾股定理，一次函数的解析式，平行线等分线段定理，线段垂直平分线性质，三角形的面积的应用，综合性比强，有一定的难度．