Question

如图，直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是关于x的方程x²-14x+4（AB+2）=0的两个根（OB＞OA），P是直线l上A、B两点之间的一动点（不与A、B重合），PQ∥OB交OA于点Q．
（1）求tan∠BAO的值；
（2）若S_△PAQ=S_{四边形OQPB}时，请确定点P在AB上的位置，并求出线段PQ的长；
（3）当点P在线段AB上运动时，在y轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵OA、OB的长分别是关于x的方程x²-14x+4（AB+2）=0的两个根，
∴OA+OB=-=14，
由已知可得，
又∵OA²+OB²=AB²，
∴（OA+OB）²-2OA•OB=AB²，
即14²-8（AB+2）=AB²，
∴AB²+8AB-180=0，
∴AB=10或AB=-18（不合题意，舍去），
∴AB=10，
∴x²-14x+48=0，
解得x₁=6，x₂=8，
∵OB＞OA，∴OA=6，OB=8，
∴tan∠BAO=．

（2）∵S_△PAQ=S_{四边形OQPB}，
∴S_△PAQ=S_△AOB，
∵PQ∥BO，
∴△PQA∽△BOA，
∴，
∴．∵AB=10，
∴AP=5，
又∵tan∠BAO=，
∴sin∠BAO=，
∴PQ=PA•sin∠BAO=．

（3）存在，
设AB的解析式是y=kx+b，
则，
解得：，
则解析式是：y=-x+8，
即4x+3y=24（*）

①当∠PQM=90°时，由PQ∥OB且|PQ|=|MQ|此时M点与原点O重合，设Q（a，0）则P（a，a）
有（a，a）代入（*）得a=．
②当∠MPQ=90°，
由PQ∥OB且|MP|=|PQ|设Q（a，0）则M（0，a），P（a，a）进而得a=

24

7

．
③当∠PMQ=90°，由PQ∥OB，|PM|=|MQ|且|OM|=|OQ|=|PQ|
设Q（a，0）则M（0，a）点P坐标为（a，2a）代入（*）得a=

12

5

．
综上所述，y轴上有三个点M₁（0，0），M₂（0，

24

7

）和M₃（0，

12

5

）满足使△PMQ为等腰直角三角形．
分析：（1）根据勾股定理得出OA²+OB²=AB²，求出AB．然后把AB代入等式求出x的值继而求出OA，OB的值即可；
（2）已知S_△PAQ=S_{四边形OQPB，证明}△PQA∽△BOA利用线段比求出AB，AP的值．知道PQ=PA•sin∠BAO，即可求解．
点评：本题综合考查了一次函数的性质以及三角函数的有关知识，难度较大．