Question

如图，平面直角坐标系中，在第一象限的矩形ABCO的边OA在y正半轴上，OC在x正半轴上，点D是线段OC上一点，过点D作DE⊥AD交直线BC于点E，以A、D、E为顶点作矩形ADEF．
（1）求证：△AOD∽△DCE；
（2）若点A坐标为（O，4），点C坐标为（7，0）．
①当点D的坐标为（5，0）时，若抛物线经过A、F、B三点，求该抛物线的解析式；
②当点D（k，0）是线段OC（不包括端点）上任意一点，则点F仍在①中所求的抛物线上吗？请说明理由；
③当点A的坐标是（0，m），点C的坐标是（n，0），当点D在线段OC上运动时，是否了存在一条抛物线，使得点F始终落在该抛物线上？若存在，请直接写出该抛物线的解析式（用含m、n表示）；若不存在，请说明理由．
（3）在第（2）题②的条件下，若点D（k，0）是在x轴上，且不在线段OC上的任意一点，其他条件不变，则点F是否还在①中所求的抛物线上？如果在，请以点D（k，0）在x负半轴上为例画出示意图（画在备用图上），并说明理由；如果不在，请举反例说明．

Answer 1

分析：（1）利用矩形的性质得到∠OAD=∠EDC后利用两角对应相等的两三角形相似证明即可；
（2）过F作FH⊥OC角OC于H，交AB于N，利用△AOD∽△DCE得到比例式求得CE的长，从而求得AFN≌△DEC，利用全等三角形的性质得到F点的坐标后利用待定系数法求得函数的解析式即可得到结论；
（3）利用以上两个小题中证得的全等和相似分当FN≥4时，点F在x轴的上方和当FN＜4时，点F在x轴的上方两种情况求得点F的坐标即可．

解答：解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ECD=∠ADE=∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠EDC=90°，∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠OAD=∠EDC
∴△AOD∽△DCE；
（2）解：①过F作FH⊥OC角OC于H，交AB于N，
由题意得，AB=OC=7，AO=BC=4，OD=5，CD=2
∵△AOD∽△DCE，
∴

CE

OD

=

CD

AO

，即：

CE

5

=

2

4

，
∴CE=

5

2

，
∵四边形ADEF是矩形，DE=AF，∠DAB+∠BAF=90°
又∵∠OAD+∠DAB=90°
∴∠OAD=∠BAF，
∴△AFN≌△DEC
∴AN=DC=2，FN=EC=

5

2

，
∴FH=

13

2

，
∴F点的坐标为（2，

13

2

），
由A（0.4），设A、F、B三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+4
由F（2，

13

2

）、B（7，4），
得

4a+2b+4= 13 2 49a+7b+4=4

，解得：

a=- 1 4 b= 7 4

∴过A、F、B三点的解析式为：y=-

1

4

x²+

7

4

x+4，
②理由是：由（2）中①可知，抛物线的解析式为：y=-

1

4

x²+

7

4

x+4，
当D（k，0）时，则OD=k，DC=7-k，
同理，由△AOD∽△DCE和△AFN≌△DEC求得：FN=CE=

k(7-k)

4

，AN=7-K，
∴F（7-k，4+

k(7-k)

4

），
将x=7-k代入y=-

1

4

x²+

7

4

x+4，
得y=

k(7-k)

4

+4，
∴点F仍在①中所求的抛物线上．
（3）如图，点F还在①中所求的抛物线上，
理由是：过点F作直线FH⊥OC交OC于点H，交直线AB于N，
由（2）中①可知，抛物线的表达式为y=-

1

4

x²+

7

4

x+4，
点D（k，0），k＜0时，则OD=-k，DC=7-k，
同理，由△AOD∽△DCE和△AFN≌△DEC求得：FN=CE=

k(7-k)

4

，AN=DC=7-K，
当FN≥4时，点F在x轴的上方，
FH=FN-4=-

k(7-k)

4

-4，点F的纵坐标是

k(7-k)

4

+4，
当FN＜4时，点F在x轴的上方
FH=4-FN=4+

k(7-k)

4

，点F的纵坐标也是

k(7-k)

4

+4，
故F（7-k，4+

k(7-k)

4

）
由（2）②可知点F在①中所求的抛物线上．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的几何知识与函数知识的结合的题目更是近几年中考的热点考题之一．在求有关存在性问题时要注意分析题意分情况讨论结果．