Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B；直线y═x+6过点B和点C，且AC⊥x轴．点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴向点O运动，同时点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AC向点C运动，当点M到达点O时，点M、N同时停止运动，设点M运动的时间为t（秒），连接MN．

（1）求直线y＝kx+b的函数表达式及点C的坐标；

（2）当MN∥x轴时，求t的值；

（3）MN与AB交于点D，连接CD，在点M、N运动过程中，线段CD的长度是否变化？如果变化，请直接写出线段CD长度变化的范围；如果不变化，请直接写出线段CD的长度．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+6，点C的坐标为（5，10）；（2）t＝；（3）线段CD的长度不变化，CD＝．理由见解析

【解析】

（1）先求出点C和点B的坐标，再根据待定系数法，即可求得答案；

（2）分别用含t的代数式表示OM和AN的长，列出关于t的方程，即可求解；

（3）过点D作EF∥x轴，交OB于E，交AC于F，由△BDM∽△ADN，得，从而得DF的长，由△BDE∽△ADF，得EO＝FA＝，从而得CF的长，进而即可求解．

（1）∵AC⊥x轴，点A（5，0），

∴点C的横坐标为5，

对于y═x+6，当x＝5时，y＝×5+6＝10，

对于x＝0，y＝6，

∴点C的坐标为（5，10），点B的坐标为（0，6），

∵直线y＝kx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B（0，6），

∴，解得，，

∴直线y＝kx+b的函数表达式为：y＝﹣x+6，

综上所述，直线y＝kx+b的函数表达式为y＝﹣x+6，点C的坐标为（5，10）；

（2）由题意得，BM＝2t，AN＝3t，

∴OM＝6﹣2t，

∵当OM＝AN时，OM∥AN，

∴四边形EOAF为平行四边形，

∴MN∥x轴，

∴6﹣2t＝3t，

解得，t＝，

∴当MN∥x轴时，t＝；

（3）线段CD的长度不变化，理由如下：

过点D作EF∥x轴，交OB于E，交AC于F，

∵EF∥x轴，BM∥AN，∠AOE＝90°，

∴四边形EOAF为矩形，

∴EF＝OA＝5，EO＝FA，

∵BM∥AN，

∴△BDM∽△ADN，

∴

∵EF＝5，

∴DE＝2，DF＝3，

∵BM∥AN，

∴△BDE∽△ADF，

∴，

∴，

∵OB＝6，

∴EO＝FA＝，

∴CF＝AC﹣FA＝，

∴CD＝＝．