Question

（2012•漳州）如图，在?OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60°，0C=4cm．OA=8cm．动点P从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以acm/s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：点C的坐标是（

2

，

2

3

），对角线OB的长度是

4

7

cm；
（2）当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大？
（3）当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M．若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥OA于E，连接OB，由∠AOC=60°，0C=4cm，利用三角函数求得OD与CD的长，即可得点C的坐标；又由四边形OABC是平行四边形，可得BE与AB的长，继而求得AE的长，然后由勾股定理，即可求得对角线OB的长度；
（2）分别从当0＜t≤4时，当4≤t≤8时与当8≤t≤12时去分析求解即可求得答案；
（3）分别从当△OPM∽△OAB与当△OPM∽△OBA时去分析，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答： 解：（1）过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥OA于E，连接OB，
∵∠AOC=60°，0C=4cm，
∴OD=0C•cos60°=4×

1

2

=2（cm），CD=OC•sin60°=4×

3

2

=2

3

（cm），
∴C（2，2

3

），
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC=4cm，BC∥OA，
∴BE=CD=2

3

cm，
∴AE=

AB2-BE2

=2（cm），
∵OA=8cm，
∴OE=OA+AE=10（cm），
∴OB=

OE2+BE2

=4

7

cm．…（4分）

（2）①当0＜t≤4时，
过点Q作QD⊥x轴于点D（如图1），则QD=

3

2

t．
∴S=

1

2

OP•QD=

3

4

t²．…（5分）

②当4≤t≤8时，
作QE⊥x轴于点E（如图2），则QE=2

3

．
∴S=

1

2

OP•QE=

3

t． …（6分）

③当8≤t＜12时，
解法一：延长QP交x轴于点F，过点P作PH⊥AF于点H（如图3）．
∴△PBQ与△PAF均为等边三角形，
∴OF=OA+AP=t，AP=t-8．
∴PH=

3

2

（t-8）．…（7分）
∴S=S_△OQF-S_△OPF
=

1

2

t•2

3

-

1

2

t•

3

2

（t-8）
=-

3

4

t²+3

3

t． …（8分）
当t=8时，S最大． …（9分）

解法二：过点P作PH⊥x轴于点H（如图3）．
∴△PBQ为等边三角形．
∵AP=t-8．
∴PH=

3

2

（t-8）． …（7分）
∴S=S_梯形OABQ-S_△PBQ-S_△OAP=

3

（20-t）-

3

4

（12-t）²-2

3

（t-8）．
=-

3

4

t²+3

3

t． …（8分）
当t=8时，S最大． …（9分）

（3）①当△OPM∽△OAB时（如图4），则PQ∥AB．
∴CQ=OP．
∴at-4=t，a=1+

4

t

．…（10分）
t的取值范围是0＜t＜8． …（11分）

②当△OPM∽△OBA时（如图5），
则

OP

OB

=

OM

OA

，
∴

t

4 7

=

OM

8

，
∴OM=

2 7

7

t． …（12分）
又∵QB∥OP，
∴△BQM∽△OPM，
∴

QB

OP

=

BM

OM

，
∴

12-at

t

=

4 7 - 2 7 7 t

2 7 7 t

，
整理得t-at=2，
∴a=1-

2

t

．…（13分）
t的取值范围是6≤t≤8．
综上所述：a=1+

4

t

（0＜t＜8）或a=1-

2

t

（6≤t≤8）． …（14分）

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理三角函数、二次函数的最值以及三角形面积问题．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用．