Question

如图①所示，直线l₁：y=3x+3与x轴交于B点，与直线l₂交于y轴上一点A，且l₂与x轴的交点为C（1，0）．
（1）求证：∠ABC=∠ACB；
（2）如图②所示，过x轴上一点D（-3，0）作DE⊥AC于E，DE交y轴于F点，交AB于G点，求G点的坐标．
（3）如图③所示，将△ABC沿x轴向左平移，AC边与y轴交于一点P（P不同于A、C两点），过P点作一直线与AB的延长线交于Q点，与x轴交于M点，且CP=BQ，在△ABC平移的过程中，线段OM的长度是否发生变化？若不变，请求出它的长度；若变化，确定其变化范围．

Answer 1

证明：（1）对于y=3x+3，令y=0，得3x+3=0，x=-1，
∴B（-1，0）．
∵C（1，0），
∴OB=OC，
∴AO垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB；

解：（2）∵AO⊥BC，DE⊥AC，
∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°，
∴∠1=∠2．
∵AB=AC，
∴AO平分∠BAC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3．
对于y=3x+3，当x=0时，y=3，
∴A（0，3），
又∵D（-3，0），
∴DO=AO．
∵∠AOB=∠DOF=90°，
∴△DOF≌△AOB（ASA），
∴OF=OB，
∴F（0，1）．
设直线DE的解析式为y=kx+b，
∴，
解得，
∴y=x+1，
联立，
解得，
所以，点G（-，）；

解：（3）OM的长度不会发生变化，过P点作PN∥AB交BC于N点，
则∠1=∠Q，∠ABC=∠PNC，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠PNC=∠PCB，
∴PN=PC，
∵CP=BQ，
∴PN=BQ，
∵∠2=∠3，
∴△QBM≌△PNM（AAS），
∴MN=BM．
∵PC=PN，PO⊥CN，
∴ON=OC，
∵BM+MN+ON+OC=BC，
∴OM=MN+ON=BC=1．
分析：（1）先求出点B的坐标，然后根据点B、点C的坐标求出OB=OC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到AB=AC，然后根据等边对等角的性质即可证明；
（2）根据等角的余角相等求出∠FDO=∠BAO，然后利用“角边角”证明△DOF和△AOB全等，根据全等三角形对应边相等可得OF=OB，从而求出点F的坐标，再根据待定系数法求直线解析式求出直线DF的解析式，与直线l₁的解析式联立求解即可得到点G的坐标；
（3）过点P作PN∥AB交BC于点N，根据平行线的性质可得∠MPN=∠Q，然后证明PN=BQ，再利用“角角边”证明△QBM和△PNM全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=BM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得ON=OC，从而证明OM=BC，是定值．
点评：本题综合考查了一次函数，待定系数法求直线解析式，两直线的交点的求解，全等三角形的判定与性质，以及等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，关系比较复杂，但难度不大，只要仔细分析，认真求解，便不难解答．