Question

【题目】已知：为的直径，,为上一动点（不与、重合）.

（1）如图1，若平分，连接交于点.①求证：；②若，求的长；

（2）如图2，若绕点顺时针旋转得，连接.求证：为的切线.

Answer 1

【答案】（1）①见解析，②2；（2）见解析

【解析】

（1）①先根据圆周角定理得出，再得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据三角形外角定理即可求证；②取中点，连接，可得是中位线，根据平行线的性质得，然后根据等腰三角形的性质得出，最后再根据中位线的性质得出；

（2）上截取，连接，由题意先得出，再得出，然后由旋转性质得、，再根据同角的补角相等得出，然后证的，最后得出即可证明.

解：（1）①证明：为的直径，

.

，

，.

.

平分，

.

，

，

.

；

②解法一：如图，取中点，连接，

为的中点，

，.

.

，，

.

.

；

解法二：如图，作，垂足为，

平分，，

.

.

.

.

.

.

.

在中，.

；

解法三：如图，作，垂足为，

设

平分，，

.

∴

∴，即

∴

解得：

∴

（2）证明（法一）：如图，在上截取，连接.

，

.

.

.

.

由旋转性质得，，.

，

.

.（没写不扣分）

.

.

.

为的切线．

证法二：如图，延长到，使.

由旋转性质得，，.

.

，

.

.（没写不扣分）

，.

，

.

.

.

.

.

.

.

为的切线．

证法三：作交延长线于点.（余下略）

由旋转性质得，，

∴

，

∴.

∵

∴

∴、

∴

∴

∴

∴

∵为的直径，

∴

∴

∴

∴.

∴为的切线．